Lección 7 Doble identidad Consolido lo que aprendí

Actividad inicial

Encuentra una expresión que permita obtener las longitudes de los otros dos lados del triángulo rectángulo usando las constantes dadas $N$ y $β$ .

Focos de aprendizaje

Deducir identidades trigonométricas para la suma o la diferencia de dos ángulos.

¿Por qué algunas personas pueden pensar que $\sin (α + β) = \sin α + \sin β$ ? ¿Qué evidencia puedo dar para mostrar que esta afirmación es incorrecta? ¿Hay alguna expresión que sea equivalente a $\sin (α + β)$ ?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Identidades de suma y diferencia

A veces es útil poder encontrar el seno y el coseno de un ángulo que es la suma de dos ángulos de rotación consecutivos. En el siguiente diagrama, $Q$ se obtiene al rotar $P$ $α$ radianes alrededor del círculo y en sentido contrario a las manecillas del reloj. $R$ se obtiene al rotar $Q$ $β$ radianes más en sentido contrario a las manecillas del reloj. En esta actividad, analizarás cómo se relacionan el seno y el coseno de los ángulos $α$ y $β$ , y el seno y el coseno de la suma de los dos ángulos, $α + β$ .

1.

¿Crees que esta afirmación es verdadera? $\sin (α + β) = \sin α + \sin β$

¿Por qué sí o por qué no?

Analiza el diagrama. La figura $O A C D$ es un rectángulo.

¿Puedes usar este diagrama para establecer una relación que se cumpla y que complete esta identidad? La idea es que uses las relaciones trigonométricas del triángulo rectángulo para marcar los segmentos que forman lados del rectángulo $O A C D$ . (Tu profesor tiene algunas tarjetas con pistas si las necesitas). Basándote en las medidas de los segmentos de recta que marcaste con las relaciones trigonométricas en el diagrama, completa la siguiente identidad:

2.

$\sin (α + β) =$

Una vez que tienes una identidad para $\sin (α + β)$ , puedes encontrar algebraicamente una identidad para $\sin (α - β)$ . Observa primero que $\sin (α - β) = \sin (α + (- β))$ . Aplica la identidad que encontraste en el problema 2, junto con estas dos identidades que ya conoces: $\sin (- θ) = - \sin (θ)$ y $\cos (- θ) = \cos (θ)$ .

3.

$\sin (α - β) =$

También puedes encontrar una identidad para $\cos (α + β)$ en el diagrama. Como $\overset{―}{O A} ≅ \overset{―}{D C}$ y $D C = D R + R C$ , puedes usar trigonometría para determinar las longitudes de los segmentos $O A$ , $D R$ y $R C$ , y así encontrar esta relación. (De nuevo, tu profesor tiene tarjetas con pistas si las necesitas).

4.

$\cos (α + β) =$

Ahora puedes completar esta identidad usando un razonamiento semejante al que usaste en el problema 3.

5.

$\cos (α - β) =$

Haz una pausa y reflexiona

Las siguientes identidades se conocen como las identidades del ángulo doble, pero son simplemente casos especiales de las identidades de suma que encontraste en los problemas anteriores.

6.

$\sin (2 α) = \sin (α + α) =$

7.

$\cos (2 α) = \cos (α + α) =$

¿Listo para más?

Deduce formas alternativas de la identidad del ángulo doble $\cos (2 α)$ usando la identidad pitagórica $\sin^{2} (α) + \cos^{2} (α) = 1$ .

Aprendizajes

Las expresiones trigonométricas se pueden manipular haciendo uso de

Hoy agregamos lo siguiente a nuestra colección de identidades trigonométricas:

Las identidades de suma y de diferencia:

Las identidades del ángulo doble:

Formas alternativas:

Vocabulario

identidades de la suma y la resta
identidades de ángulo doble
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección conocimos más identidades trigonométricas. Por ejemplo, identidades del seno o el coseno de ángulos que se obtienen al sumar o restar dos ángulos. Si los ángulos tienen el mismo tamaño, podemos usar estas identidades de suma para encontrar el seno y el coseno de un ángulo que mide el doble de lo que mide un ángulo dado.

Repaso

1.

Encuentra los dos ángulos $θ$ que son soluciones de la ecuación. (Recuerda que $0 < θ \leq 2 π$ ). Redondea tus respuestas a $2$ cifras decimales. (Tu calculadora debe estar configurada en radianes).

$\cos θ = - \frac{9}{41}$

2.

Encuentra la longitud de arco dado que $r = 68 in$ y $θ = \frac{3 π}{4}$ . (Primero escribe tu respuesta en términos de $π$ . Después usa tu calculadora para encontrar la longitud de arco aproximada a $2$ cifras decimales).