Lección 3 Captar la longitud de onda adecuada Practico lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Escribir ecuaciones equivalentes con las funciones seno y coseno.

Encontrar el conjunto completo de soluciones de una ecuación trigonométrica.

Modelar contextos que involucran un comportamiento periódico.

¿Cómo escribo una ecuación con la función coseno que sea equivalente a una ecuación dada con la función seno y viceversa? ¿Por qué querría hacer esto?

¿Cómo puedo determinar los tiempos en los que una persona estará en posiciones particulares en la rueda de la fortuna?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

La rueda de la fortuna del diagrama tiene un radio de , su centro está a del suelo y da una revolución en sentido contrario a las manecillas del reloj cada .

A circle within a circle representing a ferris wheel. The ferris wheel is divided into 10 equal parts with corresponding points labeled with the letters A through J.ABCDEFGHIJ

1.

Escribe la ecuación de la posición vertical de la persona en la rueda en cualquier tiempo , si en la persona está en la posición . (Usa radianes para medir el ángulo de rotación).

2.

¿En qué tiempo la persona en la rueda estará a sobre el suelo? ¿Hay más de una respuesta posible? Muestra en detalle cómo respondiste este problema.

3.

Si usaste una función con seno en el problema 1, ajusta tu ecuación para modelar el mismo movimiento con una función con coseno. Si usaste una función con coseno, ajusta tu ecuación para modelar el movimiento con una función con seno.

4.

Escribe la ecuación de la posición vertical de la persona en la rueda en cualquier tiempo , si en la persona está en la posición .

5.

Para la ecuación que escribiste en el problema 4, ¿en que tiempo la persona en la rueda estará a pies sobre el suelo? ¿Hay más de una respuesta? Muestra en detalle cómo resolviste este problema.

Haz una pausa y reflexiona

Escuchamos notas musicales cuando un objeto que vibra, como una cuerda de violín, hace que nuestro tímpano vibre a una frecuencia específica. Por ejemplo, escuchamos la nota llamada “do central” en un piano cuando el tímpano vibra aproximadamente veces por segundo. Los pianos se afinan de manera que la nota A (nota “la” en notación latina), por encima de la C central (“do” central), hace que el tímpano vibre veces por segundo. Debido a que esta vibración es periódica, se puede modelar con funciones trigonométricas. La amplitud de una onda de sonido determina la intensidad, que se mide en decibeles. Un piano estándar produce ondas de sonido con una intensidad entre y decibeles, y un violín produce ondas de sonido con una intensidad entre y decibeles.

6.

Escribe las funciones que modelan la frecuencia de vibración e intensidad de las siguientes notas:

a.

La nota do central, que se toca en un violín a decibeles.

b.

La nota la, que se usa para afinar el piano a decibeles.

¿Listo para más?

Escoge cualquier otra posición inicial y escribe la ecuación de la posición vertical de la persona en la rueda en cualquier tiempo , si en la persona está en la posición que escogiste. (Usa radianes para medir el ángulo de rotación). También cambia otras características de la rueda de la fortuna, como la altura del centro, el radio, la dirección de rotación o la duración de una sola rotación. (Escribe tu ecuación y la descripción de tu rueda de la fortuna aquí).

Intercambia con un compañero la ecuación que escribiste y trata de ver si puede determinar las características principales de tu rueda de la fortuna: altura del centro, radio, periodo de revolución, dirección de revolución, posición inicial de la persona en la rueda. Si no estás de acuerdo con la descripción que dio tu compañero sobre la rueda de la fortuna modelada por tu ecuación, discute con él hasta llegar a un acuerdo.

Aprendizajes

Toda función con seno se puede representar usando

La función seno y la función coseno tendrán igual

Aunque usando solo se puede encontrar una solución de una ecuación trigonométrica, el conjunto solución de toda ecuación trigonométrica .

Para visualizar todas las soluciones de una ecuación trigonométrica podemos

El comportamiento periódico a menudo se describe en términos de frecuencia,

La frecuencia de una función trigonométrica es

Notación, convenciones y vocabulario

Como las funciones trigonométricas son periódicas, las ecuaciones trigonométricas tienen

Para escribir el conjunto solución completo:

Vocabulario

  • frecuencia
  • Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección repasamos cómo escribir funciones trigonométricas y solucionamos ecuaciones trigonométricas para modelar situaciones en un contexto. Observamos que se pueden escribir funciones equivalentes con seno y coseno para modelar el mismo contexto, y que las formas equivalentes de ecuaciones que representan una traslación horizontal de una función trigonométrica hacen énfasis en el cambio de distintas cantidades en el contexto, como la posición inicial o el tiempo de inicio.

Repaso

1.

Usa lo que sabes acerca de los valores del seno y del coseno en el círculo unitario y la definición de tangente en un triángulo rectángulo para encontrar el valor de la tangente de .

a circle graphed on a coordinate plane. There is a point at (-41,9) making an angle with the negative side of the x axis. (-41,9)

2.

Multiplica.

a.

b.

3.

Encuentra la ecuación cuadrática que tiene soluciones y . Supón que el coeficiente de es .