Lección 5 Conserva tu identidad Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Deducir y justificar identidades trigonométricas.

La propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma o la propiedad asociativa de la suma nos ayudan a usar álgebra para cambiar la forma de una expresión dada a una forma más útil. ¿Cuáles propiedades de las expresiones trigonométricas nos pueden ayudar a cambiar la forma de esas expresiones en formas más útiles?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Los triángulos rectángulos y el círculo unitario proporcionan imágenes que se pueden usar para deducir, explicar y justificar diversas identidades trigonométricas.

1.

Por ejemplo, ¿cómo te puede ayudar el diagrama del triángulo rectángulo a justificar por qué la siguiente identidad se cumple para todos los ángulos $θ$ entre $0 °$ y $90 °$ ?

$\sin (θ) = \cos (90 ° - θ)$

Dado que extendimos nuestra definición del seno para que incluya no solo los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, sino también ángulos de rotación, puede que nos preguntemos si esta identidad se cumple para todos los ángulos $θ$ o solo para los ángulos que miden entre $0 °$ y $90 °$ .

Una versión de esta identidad en la que se usa la medida en radianes en vez de en grados se vería así:

$\sin (θ) = \cos (\frac{π}{2} - θ) .$

2.

Justifica por qué esta ecuación es una identidad, es decir, se cumple para todo ángulo $θ$ .

Identidades trigonométricas fundamentales

Hay diversas manera de descubrir, explorar y explicar identidades trigonométricas. Por ejemplo,

En la lección anterior usamos el círculo unitario para mostrar que $\cos (- θ) = \cos (θ)$

Podemos usar la definición de la tangente a partir del ángulo de rotación, $\tan (θ) = \frac{y}{x}$ , para mostrar que $\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ ya que $y = \sin (θ)$ y $x = \cos (θ)$ en el círculo unitario.
También podemos usar gráficas para mostrar que dos expresiones trigonométricas son equivalentes. Por ejemplo, ya hemos observado que la gráfica de $y = \sin (- θ)$ es la reflexión con respecto al eje horizontal de la gráfica de $y = \sin (θ)$ , lo que lleva a la identidad $\sin (- θ) = - \sin (θ)$ .

Estas estrategias son preferibles a usar un triángulo rectángulo para justificar que una expresión es una identidad trigonométrica. Esto se debe a que muestran que la expresión es una identidad trigonométrica porque se cumple para todos los ángulos de rotación, y no solo para los ángulos agudos de un triángulo rectángulo.

3.

Esta es una identidad importante que se conoce como la identidad pitagórica:

$\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1$ . (Nota: Esta es la notación usual para $(\sin {θ)}^{2} + (\cos {θ)}^{2} = 1$ ).

a.

Usa un triángulo rectángulo para mostrar que la identidad pitagórica se cumple para todos los ángulos agudos.

b.

Usa otro método para mostrar que la identidad se cumple para todos los ángulos de rotación.

4.

Completa las siguientes igualdades para que sean identidades trigonométricas. Usa gráficas o un círculo unitario como ayuda para hacer tus conjeturas

a.

¿Cómo podrías usar la otra representación para encontrar evidencia extra que justifique que tus conjeturas se cumplen?

b.

$\sin (π - θ) =$ y $\cos (π - θ) =$

c.

$\sin (π + θ) =$ y $\cos (π + θ) =$

d.

$\sin (2 π - θ) =$ y $\cos (2 π - θ) =$

5.

Podemos usar álgebra, junto con algunas identidades trigonométricas fundamentales, para demostrar otras identidades. Por ejemplo, ¿cómo podemos usar álgebra y las identidades enumeradas anteriormente para demostrar las siguientes identidades?

a.

$\tan (- θ) = - \tan (θ)$

b.

$\tan (π + θ) = \tan (θ)$

Haz una pausa y reflexiona

6.

Supón que sabes que $\sin (θ) = - 0.75$ y $π < θ < \frac{3 π}{2}$ . Usa la identidad pitagórica para encontrar lo siguiente:

a.

$\cos (θ) =$

b.

$\tan (θ) =$

¿Listo para más?

Decide si $\sin (α + β) = \sin α + \sin β$ es una afirmación verdadera (es decir, una identidad) o una afirmación falsa. ¿Qué te permite concluir esto?

Aprendizajes

Las identidades trigonométricas son

Las identidades trigonométricas fundamentales que serán muy útiles son:

Vocabulario

identidades trigonométricas
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección identificamos y explicamos algunas identidades trigonométricas fundamentales, es decir, afirmaciones trigonométricas que son verdaderas para todos los ángulos. Las identidades trigonométricas nos permitirán cambiar la forma de una expresión trigonométrica cuando sea necesario. Una de las identidades, $\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1$ , parece complicada y, aunque es posible dudar que sea verdadera, se puede comprobar usando el teorema de Pitágoras.

Repaso

1.

En el diagrama, el triángulo $A B C$ es un triángulo rectángulo.

El punto $B$ es un punto en el círculo y se describe con las coordenadas rectangulares $(6, 8)$ .
$s$ es la longitud del arco generado por el ángulo $θ$ .
$r$ es el radio del círculo $A$ .

a.

Encuentra $r$ .

$r =$

b.

Encuentra el valor de $θ$ redondeado a la milésima de radián más cercana. ( $3$ cifras decimales).

$θ =$

c.

Usa la fórmula $s = r θ$ para encontrar $s$ .

$s =$

d.

Describe el punto $B$ usando las coordenadas $(r, θ)$ .

e.

Describe el punto $B$ usando el radio y la longitud de arco $(r, s)$ .

2.

Encuentra dos soluciones en grados y dos soluciones en radianes. $(0 ° \leq θ \leq 360 °)$ y $(0 \leq θ \leq 2 π)$ . NO uses una calculadora.

$\sin θ = - \frac{\sqrt{3}}{2}$