Lección 3 ¿Puedes decirlo con símbolos? Consolido lo que aprendí

Prepárate

Recuerda que al escribir una afirmación de congruencia como $△ A B C ≅ △ F G H$ , las partes correspondientes de los dos triángulos deben ser congruentes.

Por ejemplo, a partir de la afirmación de congruencia anterior, sabemos que: $∠ A ≅ ∠ F$ , $\overset{―}{A B} ≅ \overset{―}{F G}$ , $∠ B ≅ ∠ G$ , $\overset{―}{B C} ≅ \overset{―}{G H}$ .

Los segmentos y los ángulos de cada uno de los siguientes problemas son partes correspondientes de dos triángulos congruentes. Haz un dibujo de los dos triángulos y marca las partes congruentes. Después, identifica el criterio de congruencia que justifica tu afirmación. Por último, escribe una afirmación de congruencia para cada par de triángulos.

1.

$\overset{―}{M L} ≅ \overset{―}{Z J}$ , $\overset{―}{L R} ≅ \overset{―}{J B}$ , $∠ L ≅ ∠ J$

a.

Dibujo de los triángulos

b.

Criterio de congruencia

c.

Afirmación de congruencia

2.

$\overset{―}{W B} ≅ \overset{―}{Q R}$ , $\overset{―}{B P} ≅ \overset{―}{R S}$ , $\overset{―}{W P} ≅ \overset{―}{Q S}$

a.

Dibujo de los triángulos

b.

Criterio de congruencia

c.

Afirmación de congruencia

3.

$\overset{―}{C Y} ≅ \overset{―}{R P}$ , $∠ Y ≅ ∠ P$ , $∠ E ≅ ∠ B$

a.

Dibujo de los triángulos

b.

Criterio de congruencia

c.

Afirmación de congruencia

4.

$\overset{―}{B C} ≅ \overset{―}{J K}$ , $\overset{―}{B A} ≅ \overset{―}{J M}$ , $∠ B ≅ ∠ J$

a.

Dibujo de los triángulos

b.

Criterio de congruencia

c.

Afirmación de congruencia

Alístate

Olivia está estudiando el triángulo $△ A B C$ y el cuadrilátero $A D E G$ que se muestran en la figura. Su profesor les dijo que el cuadrilátero $A D E G$ es un rectángulo y que el $\overset{―}{G E}$ biseca los segmentos $\overset{―}{B C}$ y $\overset{―}{A B}$ . Demuestra que $△ B G E ≅ △ E D C$ con una demostración en dos columnas.

Olivia comienza a organizar sus ideas. Ella escribe lo que sabe y las razones por las que lo sabe.

Sé que el segmento $\overset{―}{G E}$ biseca los segmentos $\overset{―}{B C}$ y $\overset{―}{A B}$ , porque me dieron esa información.
Sé que $\overset{―}{B E} ≅ \overset{―}{E C}$ y que $\overset{―}{B G} ≅ \overset{―}{A G}$ por la definición de bisecar.
Sé que $\overset{―}{A G} ≅ \overset{―}{D E}$ porque son lados opuestos de un rectángulo.
Sé que $\overset{―}{B G} ≅ \overset{―}{D E}$ por la propiedad transitiva.

Olivia se da cuenta de que ya tiene dos pares de lados correspondientes que son congruentes en los triángulos $△ B G E$ y $△ E D C$ . Ahora solo debe demostrar la congruencia de los otros dos lados para cumplir con el criterio LLL (o encontrar algunos ángulos que sean congruentes para tener otro criterio de congruencia). Ella se pregunta si el rectángulo le puede decir algo más acerca de los dos triángulos.

Sé que todos los ángulos de $A D E G$ son ángulos rectos porque $A D E G$ es un rectángulo.
Sé que los ángulos $∠ G A D$ y $∠ B G E$ son ángulos rectos porque forman un par lineal.
Sé que los ángulos $∠ A D E$ y $∠ C D E$ son ángulos rectos porque forman un par lineal.

5.

Olivia está emocionada porque tiene dos lados y un ángulo. Pero rápidamente se da cuenta de que se trata del criterio LLA, y ella sabe que es un criterio en el que no puede confiar. Sin embargo, los triángulos rectángulos son especiales, porque si tienes la longitud de dos lados de cualquier triángulo rectángulo, la longitud del tercer lado se puede encontrar aplicando el teorema de Pitágoras. Olivia cree que tiene la idea para su demostración y comienza a escribirla usando todas las abreviaturas matemáticas (símbolos) que puede. Ayuda a Olivia a terminar su demostración.

Dado que: El cuadrilátero $A D E G$ es un rectángulo, el segmento $\overset{―}{E D}$ biseca el segmento $\overset{―}{B C}$ .

Demuestra que: $Δ B G E ≅ Δ E D C$

Afirmaciones	Razones
1. el cuadrilátero $A D E G$ es un rectángulo	Está dada
2. $\overset{―}{G E}$ biseca los segmentos $\overset{―}{B C}$ y $\overset{―}{A B}$	Está dada

¡Vamos!

6.

Dado el triángulo $△ A B C$ , realiza las transformaciones que se indican. Usa una regla para unir los puntos correspondientes con un segmento de recta. Responde las preguntas.

Refleja el triángulo $△ A B C$ con respecto al segmento $\overset{―}{L K}$ . Llama al triángulo imagen $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ .
¿Qué observas acerca de los segmentos de recta $\overset{―}{A A^{'}}$ , $\overset{―}{B B^{'}}$ y $\overset{―}{C C^{'}}$ ?
Compara los segmentos de recta $\overset{―}{A B}$ , $\overset{―}{B C}$ y $\overset{―}{C A}$ con los segmentos $\overset{―}{A^{'} B^{'}}$ , $\overset{―}{B^{'} C^{'}}$ y $\overset{―}{C^{'} A^{'}}$ . ¿En qué se parecen y en qué se diferencian estos segmentos?
Traslada el triángulo $△ A B C$ hacia abajo $8$ unidades y hacia la derecha $10$ unidades. Llama al triángulo imagen $△ A " B " C "$ .
¿Qué observas acerca de los segmentos de recta $\overset{―}{A A^{″}}$ , $\overset{―}{B B^{″}}$ y $\overset{―}{C C^{″}}$ ?
Compara los segmentos de recta $\overset{―}{A B}$ , $\overset{―}{B C}$ y $\overset{―}{C A}$ con los segmentos $\overset{―}{A^{″} B^{″}}$ , $\overset{―}{B^{″} C^{″}}$ y $\overset{―}{C^{″} A^{″}}$ . ¿En qué se parecen y en qué se diferencian estos segmentos?
Traslada el triángulo $△ A B C$ hacia abajo $10$ unidades y refléjalo con respecto al eje $y$ . Llama al triángulo imagen $△ A^{‴} B^{‴} C^{‴}$ .
¿Qué observas acerca de los segmentos de recta $\overset{―}{A A^{‴}}$ , $\overset{―}{B B^{‴}}$ y $\overset{―}{C C^{‴}}$ ?
Compara los segmentos de recta $\overset{―}{A B}$ , $\overset{―}{B C}$ y $\overset{―}{C A}$ con los segmentos de recta $\overset{―}{A^{‴} B^{‴}}$ , $\overset{―}{B^{‴} C^{‴}}$ y $\overset{―}{C^{‴} A^{‴}}$ . ¿En qué se parecen y en qué se diferencian estos segmentos?