Lección 3 Más lenguaje de la función seno Consolido lo que aprendí
Focos de aprendizaje
Extender la definición de seno para incluir todos los ángulos de rotación.
¿Cómo podemos definir la función seno para ángulos mayores que
Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión
Clarita ayuda a Carlos a calcular la altura a la que está en diferentes posiciones de la rueda de la fortuna. Se dieron cuenta de que cuando usan su fórmula
Carlos y Clarita anotan sus observaciones sobre esta nueva manera de definir la función seno que parece estar programada en la calculadora.
Carlos: “Con algunos ángulos, la calculadora me da valores positivos del seno. Con otros ángulos, me da valores negativos”.
1.
Sin usar tu calculadora, haz una lista de por lo menos cinco ángulos de rotación para los cuales el valor del seno que indica la calculadora debe ser positivo.
2.
Sin usar tu calculadora, haz una lista de por lo menos cinco ángulos de rotación para los cuales el valor del seno que indica la calculadora debe ser negativo.
Clarita: “Sí, y aunque a veces no podamos dibujar un triángulo en ciertas posiciones de la rueda de la fortuna, la calculadora nos da los valores del seno de esos ángulos de rotación”.
3.
Haz una lista de los posibles ángulos de rotación de los que habla Clarita —posiciones en las que no se puede dibujar un triángulo de referencia—. Después, sin usar tu calculadora, escribe el valor del seno que la calculadora debe dar para esas posiciones.
Carlos: “Y debido a la simetría del círculo, para algunos ángulos de rotación los valores del seno son iguales”.
4.
Sin usar tu calculadora, haz una lista de por lo menos cinco pares de ángulos para los cuales el valor del seno es el mismo.
Clarita: “¡Correcto! Y si nos movemos alrededor del círculo más de una vez, la calculadora nos sigue dando el valor del seno del ángulo de rotación, y para varios de esos ángulos el valor del seno es el mismo”.
5.
Sin usar tu calculadora, haz una lista de por lo menos cinco grupos de varios ángulos de rotación con los que la calculadora debe dar el mismo valor del seno.
Carlos: “Entonces, ¿qué tanto puede aumentar el ángulo de rotación y seguir habiendo un valor del seno del ángulo?”.
Clarita: “¿O qué tanto puede disminuir?”.
6.
¿Cómo responderías las preguntas de Carlos y Clarita?
Carlos: “Mientras respondemos estas preguntas, me pregunto qué tan grande o qué tan pequeño puede ser el valor del seno a medida que los ángulos de rotación se vuelven cada vez más grandes”.
7.
Sin usar una calculadora, ¿cuál sería tu respuesta a la pregunta de Carlos?
Clarita: “Bueno, sea lo que sea que hace la calculadora, por lo menos es consistente con nuestra definición del seno en el triángulo rectángulo para ángulos de rotación entre
Carlos y Clarita deciden preguntarle a su profesor de Matemáticas cómo definieron los matemáticos el seno de los ángulos de rotación, ya que la definición de la razón no se cumple cuando el ángulo no es una parte de un triángulo rectángulo. Este es el resumen de la discusión.
Empezamos con un círculo de radio
En este diagrama, el ángulo
8.
A partir de este diagrama y de la definición de la razón seno en el triángulo rectángulo, encuentra una expresión de
9.
Considera el punto
a.
¿Cuál es el radio de este círculo?
b.
Dibuja el círculo y el ángulo de rotación. Muestra el rayo inicial y el rayo final.
c.
En el ángulo de rotación que acabas de dibujar, ¿cuál es el valor del seno de acuerdo con la definición que escribimos en el problema 8?
d.
¿Cuál es la medida del ángulo de rotación? ¿Cómo determinaste el tamaño del ángulo de rotación?
e.
¿El valor que se calculó de acuerdo con esta definición es el mismo que da la calculadora para este ángulo de rotación?
10.
Considera el punto
a.
¿Cuál es el radio de este círculo?
b.
Dibuja el círculo y el ángulo de rotación. Muestra el rayo inicial y el rayo final.
c.
En el ángulo de rotación que acabas de dibujar, ¿cuál es el valor del seno de acuerdo con la definición que escribimos en el problema 8?
d.
¿Cuál es la medida del ángulo de rotación? ¿Cómo determinaste el tamaño del ángulo de rotación?
e.
¿El valor que se calculó de acuerdo con esta definición es el mismo que da la calculadora para este ángulo de rotación?
¿Listo para más?
En el diagrama del círculo dado dibuja un ángulo en posición estándar que mida entre
Encuentra el seno de cada uno de estos cuatro ángulos de rotación.
Encuentra el ángulo de rotación asociado con cada uno de estos rayos finales.
Aprendizajes
En trigonometría, las razones trigonométricas se definen en términos de
Por ejemplo:
Para los ángulos de rotación, las funciones trigonométricas se definen en términos de
Por ejemplo:
Las ecuaciones como
La afirmación
La afirmación
La afirmación
Notación, convenciones y vocabulario
Marca el diagrama para ilustrar los siguientes términos y símbolos:
Ángulo de rotación en posición estándar
Rayo inicial
Rayo final
Punto
en el rayo final Ángulos coterminales
Vocabulario
- funciones trigonométricas
- identidades trigonométricas
- rayo final o lado final
- rayo inicial
- ángulo de cuadrante
- ángulo de rotación en posición estándar
- ángulos coterminales
- Los términos en negrita son nuevos en esta lección.
Resumen de la lección
En esta lección extendimos la definición del seno para encontrar valores del seno de ángulos que no son agudos, incluyendo todos los ángulos de rotación posibles
1.
La figura 1 muestra una gráfica ondulada.
a.
Identifica cada punto donde hay un máximo y cada punto donde hay un mínimo.
b.
Esta curva se repite dos veces y media. (Esto se llama una función periódica). Encuentra la longitud del intervalo que te permite ver exactamente una copia completa de la curva.
c.
La curva es positiva en el intervalo
2.
Una cuerda de