Lección 3 Más lenguaje de la función seno Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Extender la definición de seno para incluir todos los ángulos de rotación.

¿Cómo podemos definir la función seno para ángulos mayores que °?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Clarita ayuda a Carlos a calcular la altura a la que está en diferentes posiciones de la rueda de la fortuna. Se dieron cuenta de que cuando usan su fórmula , la calculadora les da respuestas correctas para la altura, incluso cuando el ángulo de rotación es mayor que . No entienden por qué, ya que en trigonometría solo se define el seno para ángulos agudos.

Carlos y Clarita anotan sus observaciones sobre esta nueva manera de definir la función seno que parece estar programada en la calculadora.

Carlos: “Con algunos ángulos, la calculadora me da valores positivos del seno. Con otros ángulos, me da valores negativos”.

1.

Sin usar tu calculadora, haz una lista de por lo menos cinco ángulos de rotación para los cuales el valor del seno que indica la calculadora debe ser positivo.

2.

Sin usar tu calculadora, haz una lista de por lo menos cinco ángulos de rotación para los cuales el valor del seno que indica la calculadora debe ser negativo.

Clarita: “Sí, y aunque a veces no podamos dibujar un triángulo en ciertas posiciones de la rueda de la fortuna, la calculadora nos da los valores del seno de esos ángulos de rotación”.

3.

Haz una lista de los posibles ángulos de rotación de los que habla Clarita —posiciones en las que no se puede dibujar un triángulo de referencia—. Después, sin usar tu calculadora, escribe el valor del seno que la calculadora debe dar para esas posiciones.

Carlos: “Y debido a la simetría del círculo, para algunos ángulos de rotación los valores del seno son iguales”.

4.

Sin usar tu calculadora, haz una lista de por lo menos cinco pares de ángulos para los cuales el valor del seno es el mismo.

Clarita: “¡Correcto! Y si nos movemos alrededor del círculo más de una vez, la calculadora nos sigue dando el valor del seno del ángulo de rotación, y para varios de esos ángulos el valor del seno es el mismo”.

5.

Sin usar tu calculadora, haz una lista de por lo menos cinco grupos de varios ángulos de rotación con los que la calculadora debe dar el mismo valor del seno.

Carlos: “Entonces, ¿qué tanto puede aumentar el ángulo de rotación y seguir habiendo un valor del seno del ángulo?”.

Clarita: “¿O qué tanto puede disminuir?”.

6.

¿Cómo responderías las preguntas de Carlos y Clarita?

Carlos: “Mientras respondemos estas preguntas, me pregunto qué tan grande o qué tan pequeño puede ser el valor del seno a medida que los ángulos de rotación se vuelven cada vez más grandes”.

7.

Sin usar una calculadora, ¿cuál sería tu respuesta a la pregunta de Carlos?

Clarita: “Bueno, sea lo que sea que hace la calculadora, por lo menos es consistente con nuestra definición del seno en el triángulo rectángulo para ángulos de rotación entre y : la razón de la longitud del lado opuesto a la longitud de la hipotenusa”.

Carlos y Clarita deciden preguntarle a su profesor de Matemáticas cómo definieron los matemáticos el seno de los ángulos de rotación, ya que la definición de la razón no se cumple cuando el ángulo no es una parte de un triángulo rectángulo. Este es el resumen de la discusión.

Empezamos con un círculo de radio que tiene su centro en el origen de una cuadrícula de coordenadas rectangular. Representamos un ángulo de rotación en posición estándar al ubicar su vértice en el origen, el rayo inicial orientado a lo largo del eje positivo y su rayo final rotado grados alrededor del origen en sentido contrario a las manecillas del reloj, cuando es positivo, y en sentido de las manecillas del reloj, cuando es negativo. Sea el par ordenado que representa el punto donde el rayo final interseca el círculo. (Observa el diagrama que Clarita copió con mucho cuidado en su cuaderno).

a circle graphed on a coordinate plane with a right triangle drawn in the top right quarter of the circle. The angle is labeled radians, the hypotenuse is labeled r, and the point on the circle is labeled (x,y)xy

En este diagrama, el ángulo está entre y ; por lo tanto, el rayo final está en el cuadrante I. Un triángulo rectángulo está dibujado en el cuadrante I, como los triángulos rectángulos que dibujamos en las lecciones de la rueda de la fortuna.

8.

A partir de este diagrama y de la definición de la razón seno en el triángulo rectángulo, encuentra una expresión de en términos de las variables , y .

9.

Considera el punto que está en el círculo .

a.

¿Cuál es el radio de este círculo?

b.

Dibuja el círculo y el ángulo de rotación. Muestra el rayo inicial y el rayo final.

a blank 17 by 17 grid

c.

En el ángulo de rotación que acabas de dibujar, ¿cuál es el valor del seno de acuerdo con la definición que escribimos en el problema 8?

d.

¿Cuál es la medida del ángulo de rotación? ¿Cómo determinaste el tamaño del ángulo de rotación?

e.

¿El valor que se calculó de acuerdo con esta definición es el mismo que da la calculadora para este ángulo de rotación?

10.

Considera el punto que está en el círculo .

a.

¿Cuál es el radio de este círculo?

b.

Dibuja el círculo y el ángulo de rotación. Muestra el rayo inicial y el rayo final.

a blank 17 by 17 grid

c.

En el ángulo de rotación que acabas de dibujar, ¿cuál es el valor del seno de acuerdo con la definición que escribimos en el problema 8?

d.

¿Cuál es la medida del ángulo de rotación? ¿Cómo determinaste el tamaño del ángulo de rotación?

e.

¿El valor que se calculó de acuerdo con esta definición es el mismo que da la calculadora para este ángulo de rotación?

¿Listo para más?

En el diagrama del círculo dado dibuja un ángulo en posición estándar que mida entre y . Refleja el rayo final con respecto al eje y luego con respecto al eje . También rota el rayo final alrededor del origen.

  1. Encuentra el seno de cada uno de estos cuatro ángulos de rotación.

  2. Encuentra el ángulo de rotación asociado con cada uno de estos rayos finales.

a circle graphed on a coordinate plane with points at (0,10), (10,0), (0,-10), and (-10,0).x–10–10–10–5–5–5555101010y–10–10–10–5–5–5555101010000

Aprendizajes

En trigonometría, las razones trigonométricas se definen en términos de

Por ejemplo:

Para los ángulos de rotación, las funciones trigonométricas se definen en términos de

Por ejemplo:

Las ecuaciones como son funciones trigonométricas porque

La afirmación es una identidad trigonométrica porque

La afirmación es una identidad trigonométrica para todo número natural porque

La afirmación es una identidad trigonométrica porque

Notación, convenciones y vocabulario

Marca el diagrama para ilustrar los siguientes términos y símbolos:

  • Ángulo de rotación en posición estándar

  • Rayo inicial

  • Rayo final

  • Punto en el rayo final

  • Ángulos coterminales

A circle is graphed on a coordinate plane with a line that starts in the center and leaves the graph creating an obtuse angle in the circlex–5–5–5555y–5–5–5555000

Resumen de la lección

En esta lección extendimos la definición del seno para encontrar valores del seno de ángulos que no son agudos, incluyendo todos los ángulos de rotación posibles . También aprendimos a dibujar ángulos en posición estándar en un plano de coordenadas y a decidir si los ángulos son coterminales y, por lo tanto, tienen el mismo valor de la función seno.

Repaso

1.

La figura 1 muestra una gráfica ondulada.

a curved line graphed on a coordinate plane with staring and ending points of (-15,0) and (15,0)x–15–15–15–10–10–10–5–5–5555101010151515y–5–5–5555000

a.

Identifica cada punto donde hay un máximo y cada punto donde hay un mínimo.

b.

Esta curva se repite dos veces y media. (Esto se llama una función periódica). Encuentra la longitud del intervalo que te permite ver exactamente una copia completa de la curva.

c.

La curva es positiva en el intervalo . Identifica otro intervalo donde la curva es positiva.

2.

Una cuerda de está atada a la parte superior de una carpa de feria y anclada al suelo. La cuerda forma un ángulo de con el suelo. Encuentra la altura de la carpa () y la distancia desde el ancla hasta el centro de la carpa ().

an image of a tent has the height of y feet. It is at a right angle from the ground. The tent is anchored x feet away creating a 55 degree angle. The guy line attaching the tent and th anchor is 25 feet.