Lección 9 Ruedas hidráulicas y el círculo unitario Practico lo que aprendí
Actividad inicial
Gráficas rápidas otra vez. En la lección anterior aprendiste cómo graficar las funciones seno y coseno usando valores de números reales en el eje
Usa la estrategia de la gráfica rápida. Es decir, marca puntos en la recta media para definir un periodo. Luego, marca los puntos máximos y mínimos para definir el rango.
1.
2.
3.
Focos de aprendizaje
Usar triángulos rectángulos especiales en el círculo unitario.
¿Puedo encontrar el valor del seno o del coseno de algunos ángulos sin usar calculadora?
Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión
Las ruedas hidráulicas se usaban para hacer funcionar los molinos de harina antes de que hubiera electricidad. La rueda hidráulica giraba a medida que una corriente de agua empujaba las paletas de la rueda. Por lo tanto, a diferencia de las ruedas de la fortuna que tienen sus centros por encima del suelo, el centro de la rueda hidráulica puede ubicarse a nivel del suelo, de manera que la mitad inferior de la rueda esté sumergida.
1.
Los siguientes diagramas muestran diseños posibles de una rueda hidráulica. Cada uno de los
En cada caso, encuentra las medidas de los ángulos
y .
En cada caso, encuentra las longitudes exactas de los segmentos
, y . Explica cómo encontraste estas longitudes exactas.
En cada diagrama, marca las coordenadas exactas del punto
.
2.
A partir de lo que hiciste en el problema 1, en cada punto del diagrama de la rueda hidráulica marca los valores exactos de las coordenadas
3.
Usa el diagrama del problema 2 para escribir los valores exactos de las siguientes expresiones trigonométricas.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
4.
Este es un plano de otra rueda hidráulica que solo tiene
5.
Usa el diagrama del problema 4 para escribir los valores exactos de las siguientes expresiones trigonométricas.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
Haz una pausa y reflexiona
Durante la temporada de deshielo de primavera, la corriente de agua hace que la rueda hidráulica dé una revolución completa en sentido contrario a las manecillas del reloj cada
6.
Escribe una ecuación que represente la altura, por encima o por debajo del nivel del agua, de una paleta en particular de la rueda hidráulica en un tiempo cualquiera
Escribe tu ecuación de manera que la altura de la paleta se grafique correctamente en una calculadora que está en modo grados.
Ajusta tu ecuación de manera que la altura de la paleta se grafique correctamente en una calculadora que está en modo radianes.
Durante los meses de verano, la corriente de agua que impulsa esta rueda hidráulica se vuelve un “río lento” y esto hace que la rueda dé una revolución completa en sentido contrario a las manecillas del reloj cada
7.
Escribe una ecuación que represente la altura, por encima o por debajo del nivel del agua, de una paleta en particular de la rueda hidráulica en un tiempo cualquiera
Escribe tu ecuación de manera que la altura de la paleta se grafique correctamente en una calculadora que está en modo grados.
Ajusta tu ecuación de manera que la altura de la paleta se grafique correctamente en una calculadora que está en modo radianes.
¿Listo para más?
Supón que sabes que el seno de un ángulo es
Aprendizajes
Dadas las relaciones que se encontraron en los triángulos rectángulos especiales (ver los diagramas), las coordenadas de los puntos para ángulos de rotación que son múltiplos de
El círculo unitario que está marcado es como una tabla trigonométrica que sirve para encontrar valores trigonométricos de estos ángulos especiales.
Por ejemplo, para encontrar
Cuando grafico en mi calculadora funciones trigonométricas que representan contextos que involucran ángulos de rotación, puedo decidir si uso modo grados o modo radianes al:
Cuando grafico en mi calculadora funciones trigonométricas que representan contextos que tienen como dominio a los números reales, debo:
Vocabulario
- triángulos rectángulos especiales
- Los términos en negrita son nuevos en esta lección.
Resumen de la lección
En esta lección aprendimos que podemos encontrar los valores exactos de algunas expresiones trigonométricas en vez de sus aproximaciones decimales. Esto ocurre porque podemos encontrar las longitudes exactas de los lados de triángulos rectángulos especiales que tienen una hipotenusa de
1.
Encuentra un ángulo de rotación negativo que sea coterminal con
Dibuja y marca ambos ángulos en posición estándar.
2.
El número de grados que un objeto recorre durante una cantidad de tiempo dado se llama velocidad angular. Por ejemplo, en un reloj, la manecilla de los segundos tiene una velocidad angular de
a.
En un reloj, ¿cuál es la velocidad angular de la manecilla de los segundos en grados por segundo?
b.
En un reloj, ¿cuál es la velocidad angular de la manecilla de los minutos en grados por segundo?
c.
¿Cuál es la velocidad angular de la manecilla de las horas en grados por hora?