Lección 7 Marquemos Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Calcular la longitud de arco para ángulos de rotación medidos en radianes.

Visualizar el tamaño de ángulos medidos en radianes, incluyendo radianes que se dan en forma decimal.

¿Qué tan grande es un radián? ¿Cómo puedo estimar el tamaño de ángulos medidos en radianes en relación con ángulos medidos en grados?

¿Qué tan útiles son los radianes? ¿Hay cálculos que se facilitan cuando el ángulo se mide en radianes? ¿Hay contextos que son más fáciles de describir con radianes?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Después de considerar diferentes planes para marcar la zona arqueológica descrita en “Excavemos”, Alyce, Javier y Verónica decidieron hacer círculos concéntricos en intervalos de $10 metros$ a partir de la torre central. También decidieron usar $16 varas$ por círculo para tener algunos puntos más de referencia. Usando cuerdas de diferentes longitudes para mantener el radio constante, dibujaron estos círculos en la arena. Como saben que pronto los círculos se borrarán con el viento y el paso de las personas, sienten que es urgente ubicar las posiciones de las $16 varas$ que marcarán cada círculo. El equipo quiere ser eficiente y hacer el menor número de mediciones posibles.

1.

Verónica sugiere que deben ubicar las varas alrededor de un círculo y usar esas posiciones para marcar dónde van las varas en el resto de los círculos. ¿Qué piensas acerca de la idea de Verónica?

a.

¿Cómo marcar las posiciones de las varas en un círculo les ayuda a ubicar las posiciones de las varas en todos los otros círculos?

b.

Si hay $16$ varas en cada círculo, ¿a qué distancia en grados están las varas?

c.

¿A qué distancia en radianes están las varas?

Verónica decidió que primero deben marcar con varas el círculo que tiene un radio de $50 metros$ . Ella está de pie en el punto $(50, 0)$ y sabe que debe moverse $22 \frac{1}{2} °$ alrededor del círculo para ubicar su siguiente vara. Pero ella se pregunta: “¿Qué tan lejos está eso?”.

Verónica decide que encontrará la distancia planteando una proporción a partir de medidas en grados.
Alyce cree que deben encontrar la distancia tomando $\frac{1}{16}$ de la circunferencia.
Javier cree que deben usar medidas en radianes en su cálculo.

2.

Muestra cómo cada integrante del equipo calculará esta distancia.

La estrategia de Verónica:

La estrategia de Alyce:

La estrategia de Javier:

Javier tiene una idea diferente. Él sugiere que primero deben averiguar las ubicaciones de todas las varas en el cuadrante I y usarlas para encontrar las ubicaciones de las varas en los otros cuadrantes.

3.

¿Qué piensas acerca de la sugerencia de Javier? Para descubrir la ubicación de las varas en los otros cuadrantes, ¿cómo les ayuda marcar la ubicación de las varas en el cuadrante I?

Javier ya empezó a trabajar en su estrategia y completó los cálculos para varios puntos aleatorios en el cuadrante I (observa el diagrama de Javier).

Alyce tiene una preocupación: “Usar las coordenadas $(x, y)$ quiere decir que tenemos que comenzar en la torre central, movernos una distancia horizontal, luego una distancia vertical y por último clavar la vara. Después, tenemos que regresar a la torre central y empezar de nuevo para ubicar otra vara. Yo solo quiero caminar alrededor del círculo y clavar cada vara a intervalos iguales. Creo que necesitamos la longitud de arco, no las coordenadas rectangulares de los puntos”.

Verónica tiene otra idea: “Puedo usar la brújula para saber la dirección en la que debo caminar desde la torre central y clavo una vara cada $10 metros$ a lo largo de esa línea. Luego, puedo regresar a la torre central y dirigirme en otra dirección. Desafortunadamente, mi brújula da los ángulos en grados y Javier marcó su diagrama en radianes. Debo marcar cada punto con coordenadas $(r, θ)$ ”.

4.

Desarrolla una estrategia para ubicar todas las otras varas en el primer cuadrante de estos círculos adicionales. Encuentra las coordenadas $(x, y)$ para completar la estrategia de Javier, las coordenadas $(r, θ)$ de la estrategia de Verónica y las longitudes de arco del eje $x$ positivo a cada punto para la estrategia de Alyce.

5.

Javier observó que cuanto más lejos están de la torre central, más alejadas se ven las varas. Él sugiere que deben agregar rectas radiales al diagrama en los ángulos de $\frac{π}{16}, \frac{3 π}{16}, \frac{5 π}{16}, y \frac{7 π}{16}$ , pero solo deben ubicar varas en estos ángulos en el círculo de $40 metros$ de radio. ¿Cuánto miden estos ángulos en grados?

6.

A Verónica y Alyce les encanta esta idea y le asignan a Javier el trabajo de clavar todas las varas en el círculo de radio $40 metros$ , dado que habrá el doble de ellas. Javier se da cuenta de que no tiene que calcular las coordenadas rectangulares de cada punto para ubicar sus posiciones. Planea simplemente caminar alrededor del círculo y clavar las varas a intervalos iguales. ¿A qué distancia están las varas en el círculo de radio $40 metros$ ? Usa el método de Javier en el problema 2 para calcular la longitud de arco.

Haz una pausa y reflexiona

7.

Poder convertir rápidamente entre medidas en grados y medidas en radianes le ayudará mucho a Javier.

a.

Desarrolla una estrategia que Javier pueda usar consistentemente para convertir medidas de ángulos de grados a radianes.

b.

Desarrolla una estrategia que Javier pueda usar consistentemente para convertir medidas de ángulos de radianes a grados.

8.

Verónica tiene una propuesta distinta para el círculo de radio $50 metros$ que se agregará pronto. Ella quiere ubicar una vara cada $15$ °.

a.

Muestra cómo calcular la longitud de arco que hay entre las varas usando la medida de $15 °$ .

b.

Muestra cómo calcular la longitud de arco que hay entre las varas usando medidas en radianes.

¿Listo para más?

Explica cómo aparece la medida en radianes en las estrategias de Alyce, Javier y Verónica del problema 2.

La estrategia de Verónica:

La estrategia de Alyce:

La estrategia de Javier:

Aprendizajes

Si un círculo se dividió en $n$ arcos iguales, entonces la medida angular de un arco es o radianes.

Con la fórmula , puedo encontrar la longitud de arco de un ángulo de rotación medido en .

Puedo convertir una medida en grados a una medida en radianes al .

Puedo convertir una medida en radianes a una medida en grados al .

Vocabulario

longitud de arco
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección continuamos trabajando con medidas de ángulos de rotación en grados y radianes. Encontramos estrategias para convertir una medida de ángulo a la otra. También vimos que la fórmula para encontrar la longitud de arco en ángulos medidos en radianes es más sencilla que la fórmula para encontrar la longitud de arco en ángulos medidos en grados. Esto ocurre porque la medida en radianes se define como una razón de la longitud de arco al radio.

Repaso

1.

En cada cuadrante, encuentra un punto que esté en el círculo $x^{2} + y^{2} = 16$ .

a.

Cuadrante I:

b.

Cuadrante II:

c.

Cuadrante III:

d.

Cuadrante IV:

2.

Marca cada punto que está en el siguiente círculo con la medida del ángulo de rotación en posición estándar. Empieza con la rotación desde $H$ hasta $A$ . Las medidas de los ángulos deben estar en radianes. (Recuerda que una rotación completa alrededor del círculo es $2 π radianes$ ).

Punto $A$ :

Punto $B$ :

Punto $C$ :

Punto $D$ :

Punto $E$ :

Punto $F$ :

Punto $G$ :

Punto $H$ :