Lección 8 “Cos”enemos y “Sen”emos Consolido lo que aprendí

Actividad inicial

Observa y pregúntate

Describe por lo menos dos cosas que observes y una cosa que te preguntes mientras analizas las siguientes cuatro funciones trigonométricas.

1.

$f (x) = 2 \sin (3 x)$

2.

$g (θ) = 4 \cos (θ)$

3.

$h (t) = 3 \sin (\frac{π}{5} t)$

4.

$k (t) = 5 \cos (\frac{12 °}{segundo} \cdot t)$

Focos de aprendizaje

Encontrar una relación entre la longitud de arco y las coordenadas $(x, y)$ de un punto que está en el círculo de radio $1$ .

¿Cómo facilita el círculo unitario nuestro trabajo con funciones trigonométricas?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

En las lecciones anteriores de esta unidad usaste la semejanza de círculos, la simetría de círculos, la trigonometría y el razonamiento proporcional para ubicar varas en círculos concéntricos. En esta lección, consideramos puntos que están en el círculo más simple de todos, el círculo de radio $1$ , que en general se llama el círculo unitario.

1.

Esta es una parte de un círculo unitario —la que está en el primer cuadrante de una cuadrícula de coordenadas—. Al igual que en la lección anterior, “Marquemos”, esta parte del círculo unitario se dividió en intervalos que miden $\frac{π}{8}$ radianes. Así como lo hiciste antes, encuentra las coordenadas de cada uno de los puntos que se indican en el diagrama. También encuentra la longitud de arco, $s$ , desde el punto $(1, 0)$ hasta cada uno de los puntos que se indican.

No uses una calculadora cuando marques las coordenadas o las longitudes de arco. Escribe tus resultados como fracciones o expresiones trigonométricas —valores exactos en vez de aproximaciones decimales—.

2.

Usa una calculadora y tu trabajo anterior con el diagrama para volver a marcar los puntos. Es decir, debes expresar la longitud de arco y las coordenadas $x$ y $y$ como aproximaciones decimales.

Haz una pausa y reflexiona

Javier se pregunta si su calculadora le permitirá calcular valores trigonométricos de ángulos que se miden en radianes, en vez de en grados. Él cree que esto simplificará mucho sus cálculos cuando intente ubicar las coordenadas de las varas en los círculos alrededor de la torre central de la zona arqueológica.

Después de revisar el manual de su calculadora, Javier descubrió que puede cambiar su calculadora a modo radianes. Ahora está listo para realizar los siguientes cálculos.

3.

Con tu calculadora en modo radianes, encuentra cada uno de los siguientes valores. Registra tus respuestas como aproximaciones decimales a la milésima más cercana.

$\sin (\frac{π}{8}) =$	$\cos (\frac{π}{8}) =$	$\frac{π}{8} =$
$\sin (\frac{π}{4}) =$	$\cos (\frac{π}{4}) =$	$\frac{π}{4} =$
$\sin (\frac{3 π}{8}) =$	$\cos (\frac{3 π}{8}) =$	$\frac{3 π}{8} =$
$\sin (\frac{π}{2}) =$	$\cos (\frac{π}{2}) =$	$\frac{π}{2} =$

4.

Parece que las coordenadas y las longitudes de arco de los puntos que encontraste en el círculo unitario aparecen en los cálculos de Javier. ¿Por qué ocurre esto? Es decir:

Explica por qué la medida en radianes de un ángulo en el círculo unitario es igual a la longitud de arco.

Explica por qué el seno de un ángulo medido en radianes es igual a la coordenada $y$ de un punto que está en el círculo unitario.

Explica por qué el coseno de un ángulo medido en radianes es igual a la coordenada $x$ de un punto que está en el círculo unitario.

5.

A partir de este trabajo, encuentra los siguientes valores sin usar una calculadora:

$\sin (\frac{5 π}{8}) =$

$\cos (\frac{7 π}{8}) =$

$\cos (π) =$

¿Por qué los radianes son tan importantes como para tener su propio modo en una calculadora? Estas son algunas cosas en las que pensar.

6.

Definimos radianes como la razón de la longitud de arco al radio. Si la longitud de arco y el radio se miden en metros (o en centímetros, pulgadas o pies), ¿cuáles son las unidades en la razón?

7.

Si definimos radianes como la longitud de un arco intersecado en el círculo unitario $x^{2} + y^{2} = 1$ , ¿en qué se parecen o diferencian la longitud de un arco en el círculo unitario que mide $1 radi \overset{´}{a} n$ y la longitud de $1 unidad$ en el eje $x$ ?

8.

Explica lo que significa esta afirmación: “Los radianes son importantes porque con ellos medimos ángulos con números reales en vez de grados”.

Los números reales a lo largo del eje $x$ se pueden pensar como la medida en radianes de un ángulo de rotación, por ello podemos graficar las funciones seno y coseno como funciones de $x$ . Para graficar estas funciones, es útil marcar el eje $x$ de manera que se destaquen los números reales que representan una rotación completa, media rotación o alguna otra fracción de rotación útil. Estos son dos ejemplos posibles.

9.

Grafica las siguientes funciones en las cuadrículas dadas (cada función en una cuadrícula). Prepárate para explicar la estrategia que usaste para graficar y el motivo porque el que escogiste cada cuadrícula.

$f (x) = 2 \sin (x)$
$g (x) = \sin (2 x)$

¿Listo para más?

Usa la gráfica del círculo unitario para razonar sobre los siguientes problemas:

¿Dónde estará ubicado el rayo final de un ángulo que mide $2 radianes$ ?

¿El seno de un ángulo que mide $2 radianes$ es mayor o menor que el seno de un ángulo que mide $3 radianes$ ?

Las coordenadas de un punto que está en el círculo unitario se pueden aproximar con $(0.5, 0.866)$ . ¿Cuál es el seno del ángulo cuyo rayo final pasa por este punto?

¿Aproximadamente cuántos grados crees que mide este ángulo de rotación?

Aprendizajes

Cada punto del círculo unitario da los valores del seno y el coseno de un ángulo de rotación porque:

La longitud de arco de un ángulo de rotación mide
La coordenada $x$ del punto da
La coordenada $y$ del punto da

El círculo unitario define funciones trigonométricas en el dominio de los números reales porque:

Vocabulario

círculo unitario
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos acerca del círculo unitario y de cómo modela los valores de seno y coseno para todo ángulo de rotación. También encontramos que la medida en radianes de un ángulo de rotación se representa con la longitud del arco intersecado.

Repaso

1.

Escribe una expresión equivalente. Racionaliza los denominadores cuando sea necesario.

a.

$\frac{2}{\sqrt{7}}$

b.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{5}{2}}$

2.

Cambia los ángulos dados a radianes.

a.

$80 °$

b.

$135 °$

3.

Cambia los ángulos dados a grados.

a.

$\frac{4 π}{3}$

b.

$\frac{17 π}{9}$