Lección 5 Sombras movedizas Practico lo que aprendí
Actividad inicial
Anahita está subida en una rueda de la fortuna. Mientras espera a que la última cabina se llene, piensa en sus amigos de la clase de Matemáticas. “Apenas me baje voy a hacer una gráfica de mi recorrido. Así me acordaré de contarles a mis amigos todos los detalles”.
Esta es la gráfica que Anahita hizo después de bajarse de la atracción.
1.
Menciona algo que observes acerca de la gráfica de Anahita y da una explicación de lo que significa.
2.
Menciona otra cosa que observes acerca de la gráfica de Anahita y da una explicación de lo que significa.
3.
Menciona una tercera cosa que observes acerca de la gráfica de Anahita y da una explicación de lo que significa.
Focos de aprendizaje
Extender la definición del coseno para incluir todos los ángulos de rotación y usar funciones con coseno para modelar un contexto.
¿Cómo puedo describir gráfica y simbólicamente el movimiento horizontal de una persona que está en una rueda de la fortuna?
¿Cuáles son mis pasos para dibujar las gráficas del seno y el coseno?
Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión
A pesar de sus nervios, Carlos disfruta su primer viaje en la rueda de la fortuna del parque de diversiones. Sin embargo, pasa gran parte del tiempo con sus ojos fijos en el suelo. Después de un rato, como el sol está directamente sobre su cabeza, se queda fascinado con el movimiento de su sombra en el suelo, de un lado a otro, mientras él da vueltas en la rueda de la fortuna.
Recuerda la siguiente información de la rueda de la fortuna en la que está Carlos:
La rueda de la fortuna tiene un radio de
. El centro de la rueda de la fortuna está a
sobre el suelo. La rueda de la fortuna da una revolución completa en sentido contrario a las manecillas del reloj cada
.
Para describir la ubicación de la sombra de Carlos, a medida que se mueve de un lado a otro en el suelo, podemos medir la distancia horizontal de la sombra (en pies) a la derecha o a la izquierda del punto que está justo debajo del centro de la rueda de la fortuna. Las ubicaciones a la derecha del centro tienen valores positivos y las ubicaciones a la izquierda del centro tienen valores negativos. Por ejemplo, en este sistema, la ubicación de la sombra de Carlos tendrá un valor de
1.
En este nuevo sistema de medida, ¿cuál será la posición de Carlos en la rueda de la fortuna cuando su sombra esté ubicada en el
2.
Dibuja una gráfica de la ubicación horizontal de la sombra de Carlos como una función del tiempo
3.
En la siguiente tabla, escribe la ubicación de la sombra de Carlos en cada tiempo
Tiempo transcurrido desde que pasa por la posición | Cálculos | Posición horizontal de la persona |
|---|---|---|
Haz una pausa y reflexiona
4.
Escribe una fórmula general para encontrar la ubicación de la sombra en un tiempo cualquiera.
Gráficas rápidas
En cada caso, marca puntos en la recta media para determinar el periodo. También marca el punto mínimo y el punto máximo para encontrar el rango. Usa estos puntos para dibujar dos periodos de la gráfica. Marca los ejes.
5.
Recta media:
Máximo:
Mínimo:
6.
Recta media:
Máximo:
Mínimo:
7.
Recta media:
Máximo:
Mínimo:
8.
Recta media:
Máximo:
Mínimo:
¿Listo para más?
Describe dos ruedas de la fortuna. Ambas deben tener el mismo radio, el centro a la misma altura y la misma velocidad angular, pero una debe ir en sentido de las manecillas del reloj y la otra en sentido contrario.
1.
Cuando la rotación sea en sentido de las manecillas del reloj, ¿cómo representarás el movimiento vertical con una gráfica y de manera algebraica? Dibuja la gráfica y escribe la ecuación de cada una de las ruedas de la fortuna.
a.
Rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj
Gráfica:
Ecuación:
b.
Rotación en sentido de las manecillas del reloj
Gráfica:
Ecuación:
2.
¿Cómo representarás gráfica y algebraicamente el movimiento horizontal bajo una rotación en el sentido de las manecillas del reloj? Dibuja la gráfica y escribe la ecuación de cada una de tus ruedas de la fortuna.
a.
Rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj
Gráfica:
Ecuación:
b.
Rotación en sentido de las manecillas del reloj
Gráfica:
Ecuación:
3.
¿Por qué la gráfica de seno se refleja con respecto a su recta media, pero la gráfica de coseno no?
Aprendizajes
Para definir el coseno de un ángulo de rotación
Podemos hacer observaciones acerca del signo del seno o coseno en cada uno de los cuadrantes del círculo, como se ve en el diagrama.
Observamos lo siguiente acerca de la función coseno:
Resumen de la lección
En esta lección aprendimos cómo graficar la posición horizontal de una persona que está en una rueda de la fortuna usando la función coseno. Tuvimos que extender la definición del coseno para incluir todos los ángulos de rotación. Analizamos las características de la gráfica y la ecuación de coseno, y las relacionamos con características similares de la función seno.
1.
La rueda de la figura tiene
a.
Encuentra la circunferencia.
b.
Encuentra la distancia entre los puntos
c.
Encuentra
d.
¿Cuántos pies recorre la rueda si da
2.
En cada caso, realiza la operación que se indica.