Lección 3 ¿Por qué ser normal? Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Entender una escala que se usa para comparar distribuciones normales.

Dibujar curvas de distribución y usar tablas para encontrar porcentajes de la población.

¿Cómo podemos comparar distribuciones normales que tienen medias y desviaciones estándar diferentes?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Como funcionario de admisiones debes evaluar cientos de aplicaciones de estudiantes que quieren asistir a tu universidad. Muchos de ellos tienen buenas calificaciones, han participado en actividades escolares, han hecho servicio comunitario y tienen todo tipo de cualidades que los hacen excelentes candidatos para asistir a la universidad que representas. Una parte de la aplicación que se mira con cuidado es el puntaje del candidato en el examen de admisión universitario. En tu universidad algunos estudiantes presentaron el ACT y algunos presentaron el SAT.

Tienes que tomar una decisión final entre dos candidatos. Ambos son estudiantes estupendos, tienen el mismo promedio de calificaciones y la misma posición en la clasificación de su clase. Todo se define con sus puntajes en los exámenes. El estudiante A presentó el ACT y obtuvo un puntaje de en matemáticas. El estudiante B presentó el SAT y obtuvo un puntaje de en matemáticas. Como tú eres experto en los exámenes de admisión universitarios, sabes que ambos exámenes están diseñados para tener una distribución normal. es un puntaje perfecto en el ACT. La sección de matemáticas del ACT tiene una media de y una desviación estándar de . (Fuente: Centro Nacional de Estadísticas de Educación, 2010). es un puntaje perfecto en la sección de matemáticas del SAT. La sección de matemáticas del SAT tiene una media de y una desviación estándar de . (Fuente: www.collegeboard.com, perfil del 2010).

1.

Con base únicamente en los puntajes que obtuvieron en los exámenes, ¿a qué estudiante escogerías y por qué?

Este análisis te hizo dar hambre, así que llamas a tu amiga del departamento de estadística de la universidad y le pides que vaya a almorzar contigo. Durante el almuerzo, le cuentas tu dilema. La conversación sucede más o menos así:

Tú: No estoy segura de estar tomando la decisión correcta sobre a cuál de los dos estudiantes admitir en la universidad. Sus puntajes en los exámenes de admisión parecen estar en el mismo lugar de la distribución, pero no sé cuál es mejor. Es como tratar de descifrar cuál bolsa de frutas pesa más, cuando el peso de una está en kilogramos y el peso de la otra está en libras. Puede que parezca que son aproximadamente la misma cantidad, pero no puedes encontrar la diferencia exacta a menos de que las pongas en la misma balanza o las conviertas a la misma unidad.

Especialista en estadística: De hecho, hay un método para hacer comparaciones de dos distribuciones normales distintas. Es como convertir los puntajes a la misma unidad. La escala se llama la “distribución normal estándar”. Como el método se inventó para que fuera más fácil pensar en una distribución normal, está hecho para que la media sea y la desviación estándar sea .

Esto es lo que dibujó tu amiga especialista en estadística en su servilleta para mostrarte la distribución normal estándar:

a bell curve where each portion that is equidistant from the peak is equal. this shows normal distribution –3–3–2–2–1–11122330068.2695.4499.740.13%0.13%2.15%2.15%13.59%13.59%34.13%34.13%2.15%2.15%

Tú: Bueno, así es como yo siempre me imagino las distribuciones normales.

Especialista en estadística: Sí, es muy simple. Cuando usamos esta escala, le damos a las cosas un puntaje . Un puntaje de significa que está desviación estándar por encima de la media. Un puntaje de significa que está entre y desviaciones estándar por debajo de la media. Muy fácil. Y hay algo que es aún mejor. Cuando tenemos un puntaje , hay tablas que te muestran el área bajo la curva que está a la izquierda de ese puntaje, la cual corresponde al porcentaje de la población. Para un puntaje en un examen, como el ACT o el SAT, te muestra el porcentaje de la población (o de la muestra) que está por debajo de ese puntaje. Tengo una tabla de puntajes aquí en mi cartera. Mira, el puntaje es , entonces aproximadamente el de la población obtuvo un puntaje menor.

Inténtalo: Digamos que tienes dos estudiantes imaginarios que presentaron el examen, el estudiante C y el estudiante D. El puntaje del estudiante C fue y el puntaje del estudiante D fue .

2.

¿Qué porcentaje de los estudiantes que presentaron el examen obtuvieron un puntaje menor que el estudiante C?

3.

¿Qué porcentaje de los estudiantes que presentaron el examen obtuvieron un puntaje menor que el estudiante D?

4.

¿Qué porcentaje de los estudiantes que presentaron el examen obtuvieron un puntaje que está entre el puntaje del estudiante C y el del estudiante D?

5.

El estudiante C y el estudiante D tienen un amigo, el estudiante E, que obtuvo un puntaje de . Encuentra el porcentaje de los estudiantes que presentaron el examen y que obtuvieron un puntaje mayor que el estudiante E, sin usar una tabla ni tecnología. Explica tu estrategia.

Haz una pausa y reflexiona

Tú: Eso es genial, pero los dos puntajes con los que estoy trabajando no los tengo como puntajes . ¿Hay alguna forma en la que pueda convertir los valores de una distribución normal, como los puntajes en el ACT o en el SAT, en puntajes ?

Especialista en estadística: Por supuesto. La escala no sería tan sorprendente si no pudieras usarla para cualquier distribución. Hay una fórmula sencilla para transformar cada punto de dato de una distribución normal en un punto de dato de su distribución normal estándar correspondiente:

6.

Supongamos que tienes un puntaje en el ACT de , el puntaje medio en el ACT es y la desviación estándar es . Estima el puntaje .

7.

Usemos la fórmula para encontrarlo: puntaje = . ¿Cómo estuvo tu estimación? Explica por qué este valor es razonable.

: Genial. Voy a volver a la oficina a decidir cuál estudiante será admitido.

8.

Compara los puntajes del estudiante A y del estudiante B. Explica cuál estudiante tiene el puntaje más alto en la sección de matemáticas del examen y por qué.

¿Listo para más?

Encuentra el puntaje original en el ACT de un estudiante que tiene un puntaje de .

Aprendizajes

La distribución normal estándar:

Un puntaje describe:

El valor de una tabla de puntajes describe:

La fórmula del puntaje :

Puntaje =

Resumen de la lección

En esta lección estudiamos la distribución normal estándar y el puntaje , que es un método para poner todas las distribuciones normales en la misma escala y así poderlas comparar. Una vez se ha calculado un puntaje para cierto valor, se usa la tabla de puntajes para encontrar el porcentaje de la población que está a la izquierda del valor.

Repaso

Les hicieron una encuesta a doscientos estudiantes de la preparatoria central, que fue fundada recientemente, sobre su preferencia de colores para la nueva preparatoria. Sus preferencias están registradas en la tabla.

Estudiantes de grado 12

Estudiantes de grado 11

Totales

Rojo y blanco

Morado y dorado

Anaranjado y negro

Totales

1.

Si la muestra representara a que se van a matricular según las proyecciones, ¿cuántos estudiantes estarían felices con que los colores de la escuela fueran anaranjado y negro?

2.

Si se elimina el rojo y el blanco de las opciones y se realiza la encuesta otra vez a los mismos , ¿crees que el anaranjado y el negro todavía van a ser la opción preferida? Justifica tu respuesta.

3.

Sin usar tecnología, dibuja una gráfica de la función polinomial que tiene las características dadas. Escribe la ecuación en forma factorizada.

  • Grado:

  • Raíces:

a blank coordinate plane –10–10–10–5–5–5555101010–10–10–10–5–5–5555101010000

Ecuación: