Lección 8 ¿Las relaciones son predecibles? Desarrollo mi comprensión

Actividad inicial

En la lección anterior, una posible configuración de los triángulos rectángulos se veía así:

1.

¿Por qué esta configuración parece indicar que los tres triángulos son semejantes?

2.

¿Cómo justificamos que los triángulos eran semejantes?

3.

Supón que usamos un rectángulo de otro tamaño, como una tarjeta de $3 \times 5$ o $5 \times 8$ , o una hoja de papel de $8.5 \times 11 pulgadas$ . Supón que recortamos el rectángulo por la diagonal y se forma la hipotenusa del triángulo más grande. Luego, recortamos el segundo triángulo (el otro que se formó al recortar el rectángulo) por la altura desde el ángulo recto. Se forman dos triángulos más pequeños. ¿Podríamos organizar los tres triángulos de la misma manera? ¿Por qué sí o por qué no?

Focos de aprendizaje

Investigar las razones correspondientes de triángulos rectángulos que tienen un ángulo agudo en común.

¿Cómo se determina si dos triángulos rectángulos son semejantes?

¿Por qué las razones de los lados de los triángulos rectángulos son tan especiales que merecen una clasificación propia (razones trigonométricas)?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Dibuja un triángulo rectángulo que tenga un ángulo agudo que mida $60 °$ .

Usa una regla de centímetros para medir todos los lados de tu triángulo con la mayor precisión que puedas.

Usa el ángulo de $60 °$ como ángulo de referencia para escribir las siguiente medidas:

Longitud del lado adyacente:

Longitud del lado opuesto:

Longitud de la hipotenusa:

Encuentra el valor de las siguientes razones usando tus medidas:

$\frac{lado opuesto}{hipotenusa} =$

$\frac{lado adyacente}{hipotenusa} =$

$\frac{lado opuesto}{lado adyacente} =$

1.

Compara tus razones con las de otros estudiantes que hayan dibujado un triángulo de un tamaño diferente. ¿Qué observas? Explica las conexiones que encuentres en el trabajo de otros estudiantes.

2.

En los siguientes triángulos rectángulos, encuentra la longitud de lado desconocida y escribe las razones que se indican con base en cada ángulo de referencia (el ángulo $A$ y el ángulo $D$ ).

Escribe las razones del triángulo $△ A B C$ . Usa $A$ como el ángulo de referencia.

$\frac{lado opuesto}{hipotenusa} = \underset{―}{}$

$\frac{lado adyacente}{hipotenusa} = \underset{―}{}$

$\frac{lado opuesto}{lado adyacente} = \underset{―}{}$

Escribe las razones del triángulo $△ D E F$ . Usa $D$ como el ángulo de referencia.

$\frac{lado opuesto}{hipotenusa} = \underset{―}{}$

$\frac{lado adyacente}{hipotenusa} = \underset{―}{}$

$\frac{lado opuesto}{lado adyacente} = \underset{―}{}$

3.

¿Qué observas acerca de las razones de los dos triángulos? ¿En qué se parecen y en qué se diferencian estas razones y las razones del triángulo que dibujaste en el problema 1?

4.

¿Qué puedes deducir sobre las medidas de los ángulos del triángulo $△ A B C$ y del triángulo $△ D E F$ ?

5.

¿Por qué se dan las relaciones que observaste?

6.

Mide los ángulos de los triángulos $△ A B C$ y $△ D E F$ . ¿Qué puedes concluir sobre las razones de los lados de un triángulo rectángulo que tiene estos ángulos específicos?

7.

¿Qué puedes concluir acerca de las razones de los lados de un triángulo rectángulo que tiene un ángulo de $45 °$ ? Si es necesario, haz un dibujo y ensaya con ejemplos de esos triángulos.

Las razones que exploramos en esta actividad tienen nombres especiales.

El seno es la razón de la longitud del lado opuesto a un ángulo a la longitud de la hipotenusa.
El coseno es la razón de la longitud del lado adyacente a un ángulo a la longitud de la hipotenusa.
La tangente es la razón de la longitud del lado opuesto a un ángulo a la longitud del lado adyacente al ángulo.

¿Listo para más?

Usa el diagrama para hacer observaciones acerca de las razones seno, coseno y tangente, y para responder las siguientes preguntas:

a.

Si el ángulo de referencia $A$ se hace más grande, ¿el valor de la razón seno aumenta o disminuye?

b.

¿Qué le sucede al valor de la razón seno cuando el ángulo de referencia $A$ es cercano a $0 °$ ?

c.

¿Qué le sucede al valor de la razón seno cuando el ángulo de referencia $A$ es cercano a $90 °$ ?

d.

Si el ángulo de referencia $A$ se hace más grande, ¿el valor de la razón coseno aumenta o disminuye?

e.

¿Qué le sucede al valor de la razón coseno cuando el ángulo de referencia $A$ es cercano a $0 °$ ?

f.

¿Qué le sucede al valor de la razón coseno cuando el ángulo de referencia $A$ es cercano a $90 °$ ?

g.

Si el ángulo de referencia $A$ se hace más grande, ¿el valor de la razón tangente aumenta o disminuye?

h.

¿Qué le sucede al valor de la razón tangente cuando el ángulo de referencia $A$ es cercano a $0 °$ ?

i.

¿Qué le sucede al valor de la razón tangente cuando el ángulo de referencia $A$ es cercano a $45 °$ ?

j.

¿Qué le sucede al valor de la razón tangente cuando el ángulo de referencia $A$ es cercano a $90 °$ ?

Aprendizajes

Las razones de los lados de un triángulo rectángulo se llaman razones trigonométricas. Cada razón específica tiene un nombre.

La razón $\frac{lado opuesto}{hipotenusa}$ se llama .

La razón $\frac{lado adyacente}{hipotenusa}$ se llama .

La razón $\frac{lado opuesto}{lado adyacente}$ se llama .

La medida del ángulo agudo de referencia de un triángulo rectángulo determina el valor de estas razones, porque

Antes de que existieran las calculadoras, estos valores se registraban en tablas para tenerlos como referencia. Para cada uno, una tabla de razones trigonométricas incluía estos valores:

$\sin (60 °) =$ $\underset{―}{}$ $\cos (60 °) =$ $\underset{―}{}$ $\tan (60 °) =$ $\underset{―}{}$

$\sin (30 °) =$ $\underset{―}{}$ $\cos (30 °) =$ $\underset{―}{}$ $\tan (30 °) =$ $\underset{―}{}$

$\sin (45 °) =$ $\underset{―}{}$ $\cos (45 °) =$ $\underset{―}{}$ $\tan (45 °) =$ $\underset{―}{}$

Notación, convenciones y vocabulario

En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama . Siempre es el lado más largo del triángulo rectángulo.

También le damos nombres especiales a los dos catetos de un triángulo rectángulo, relativos a uno de los ángulos agudos del triángulo.

En el diagrama, $\overset{―}{A C}$ es el lado al ángulo $∠ A$ y $\overset{―}{B C}$ es el lado al ángulo $∠ A$ .

En el diagrama, $\overset{―}{A C}$ es el lado al ángulo $∠ B$ y $\overset{―}{B C}$ es el lado al ángulo $∠ B$ .

Puedo reconocer rápidamente qué nombre darle a cada uno de los siguientes lados de un triángulo rectángulo así:

Hipotenusa:

Lado adyacente:

Lado opuesto:

Vocabulario

adyacente
hipotenusa
lado opuesto en un triángulo
razones trigonométricas en triángulos rectángulos: seno A, coseno A, tangente A
ángulo de referencia
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección exploramos las razones trigonométricas, que son razones especiales en los triángulos rectángulos. Si dos triángulos rectángulos tienen un par de ángulos agudos correspondientes que son congruentes, los triángulos son semejantes y por eso las razones correspondientes de los lados de estos dos triángulos rectángulos son iguales. Esta observación es muy útil cuando hay triángulos rectángulos que tienen un ángulo agudo en común. Por esto, los valores de estas razones se registraron en tablas para cada ángulo agudo entre $0 °$ y $90 °$ .

Repaso

Encuentra las medidas desconocidas del ángulo y del lado de cada triángulo rectángulo.

1.

2.

Encuentra la forma factorizada y las intersecciones de cada función cuadrática.

3.

$g (x) = x^{2} - 4 x - 21$

Forma factorizada:

Intersección con el eje $y$ :

Intersecciones con el eje $x$ :

4.

$h (x) = x^{2} + 8 x + 12$

Forma factorizada:

Intersección con el eje $y$ :

Intersecciones con el eje $x$ :