Lección 3 Semejanza de triángulos y de otras figuras Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Determinar criterios para la semejanza de triángulos.

¿Cuál es la diferencia entre el uso común de la palabra semejante (por ejemplo, un rectángulo se asemeja más a otro rectángulo que a un triángulo) y las convenciones matemáticas de la palabra? ¿Qué significa que dos polígonos son semejantes?

¿Cómo puedo demostrar (o refutar) que dos triángulos son semejantes?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Se dice que dos figuras son congruentes si la segunda figura se puede obtener a partir de la primera mediante una secuencia de rotaciones, reflexiones y traslaciones. Anteriormente, descubrimos que solo necesitamos tres datos para garantizar que dos triángulos fueran congruentes: LLL (lado-lado-lado), ALA (ángulo-lado-ángulo) o LAL (lado-ángulo-lado).

¿Qué podemos decir sobre AAA (ángulo-ángulo-ángulo)? ¿Dos triángulos son congruentes si los tres pares de ángulos correspondientes son congruentes?

En esta actividad vamos a pensar en características de los triángulos que son semejantes pero no congruentes.

Definición de semejanza: Dos figuras son semejantes si la segunda figura se puede obtener a partir de la primera mediante una secuencia de rotaciones, reflexiones, traslaciones y dilataciones.

Mason y Mia ponen a prueba algunas conjeturas sobre polígonos semejantes. Esta es una lista de sus conjeturas.

Conjetura 1: Todos los rectángulos son semejantes.

Conjetura 2: Todos los triángulos equiláteros son semejantes.

Conjetura 3: Todos los triángulos isósceles son semejantes.

Conjetura 4: Todos los rombos son semejantes.

Conjetura 5: Todos los cuadrados son semejantes.

1.

¿Cuáles de estas conjeturas crees que son verdaderas? ¿Por qué?

Mason usa el diagrama para explicarle a Mia por qué cree que la conjetura 1 es verdadera.

“Todos los rectángulos tienen cuatro ángulos rectos. Puedo trasladar y rotar el rectángulo $A B C D$ hasta que el vértice $A$ coincida con el vértice $Q$ del rectángulo $Q R S T$ . Como $A$ y $Q$ son ángulos rectos, el lado $A B$ va a quedar sobre el lado $Q R$ y el lado $A D$ va a quedar sobre el lado $Q T$ . Después, puedo dilatar el rectángulo $A B C D$ , usando el punto $A$ como centro de dilatación, hasta que los puntos $B$ , $C$ y $D$ coincidan con los puntos $R$ , $S$ y $T$ ”.

2.

¿La explicación de Mason te convence de que el rectángulo $A B C D$ es semejante al rectángulo $Q R S T$ según la definición de semejanza dada anteriormente? ¿Su explicación te convence de que todos los rectángulos son semejantes? ¿Por qué sí o por qué no?

Mia usa el diagrama para explicarle a Mason por qué cree que la conjetura 2 es verdadera.

“Todos los triángulos equiláteros tienen tres ángulos de $60 °$ . Puedo trasladar y rotar el triángulo $△ A B C$ hasta que el vértice $A$ coincida con el vértice $Q$ del triángulo $△ Q R S$ . Como $A$ y $Q$ son ángulos de $60 °$ , el lado $A B$ va a quedar sobre el lado $Q R$ y el lado $A C$ va a quedar sobre el lado $Q S$ . Después, puedo dilatar el triángulo $△ A B C$ , usando el punto $A$ como centro de dilatación, hasta que los puntos $B$ y $C$ coincidan con los puntos $R$ y $S$ ”.

3.

¿La explicación de Mia te convence de que el triángulo $△ A B C$ es semejante al triángulo $△ Q R S$ según la definición de semejanza dada anteriormente? ¿Su explicación te convence de que todos los triángulos equiláteros son semejantes? ¿Por qué sí o por qué no?

4.

Para cada una de las otras tres conjeturas, escribe un argumento parecido al de Mason o al de Mia que pueda convencer a alguien de que la conjetura es verdadera o escribe por qué crees que no es verdadera.

a.

Conjetura 3: Todos los triángulos isósceles son semejantes.

b.

Conjetura 4: Todos los rombos son semejantes.

c.

Conjetura 5: Todos los cuadrados son semejantes.

Mason tiene otra conjetura: Los dibujos a escala de un polígono son figuras semejantes entre sí.

Mason aprendió esto sobre los dibujos a escala en su trabajo anterior:

Los ángulos correspondientes de los dibujos a escala son congruentes.
Los lados correspondientes de los dibujos a escala son proporcionales.

Mia le propone que traten de justificar esta conjetura para el caso de dibujos a escala de triángulos y sugiere el siguiente diagrama.

5.

Explica cómo puedes usar la definición de figuras semejantes (dos figuras son semejantes si la segunda figura se puede obtener a partir de la primera mediante una secuencia de rotaciones, reflexiones, traslaciones y dilataciones) para demostrar que los triángulos de los siguientes dibujos a escala son semejantes.

Dado que: Los ángulos correspondientes de los triángulos $△ A B C$ y $△ R S T$ son congruentes, y los lados correspondientes están relacionados por un factor de escala $k$ .

6.

Piensa en las justificaciones de Mia y Mason de que los dibujos a escala de los triángulos son semejantes. ¿Cómo puedes extender estas justificaciones para demostrar que los dibujos a escala de los cuadriláteros son semejantes?

Dado que: Los ángulos correspondientes del cuadrilátero $A B C D$ y del cuadrilátero $R S T U$ son congruentes, y los lados correspondientes son proporcionales por un factor de escala $k$ .

Aunque la definición de semejanza del comienzo de la actividad funciona para todas las figuras semejantes, incluso para figuras que tienen bordes que no son rectos, se puede dar una definición alternativa de semejanza para los polígonos: Dos polígonos son semejantes si todos los ángulos correspondientes son congruentes y todos los pares de lados correspondientes son proporcionales.

7.

¿Cómo te puede ayudar esta definición a encontrar el error en lo que pensó Mason sobre la conjetura 1?

8.

¿Cómo te puede ayudar esta definición a confirmar lo que pensó Mia sobre la conjetura 2?

9.

¿Cómo te puede ayudar esta definición a pensar en las otras tres conjeturas?

a.

Conjetura 3: Todos los triángulos isósceles son semejantes.

b.

Conjetura 4: Todos los rombos son semejantes.

c.

Conjetura 5: Todos los cuadrados son semejantes.

Haz una pausa y reflexiona

Criterios de semejanza AAA, LAL y LLL

Si pensamos en nuestro trabajo anterior con rectángulos, es obvio que no es suficiente saber que todos los rectángulos tienen cuatro ángulos rectos (este es un ejemplo de AAAA para los cuadriláteros) para afirmar que todos los rectángulos son semejantes. ¿Qué podemos decir acerca de los triángulos? En general, ¿dos triángulos son semejantes si los tres pares de ángulos correspondientes son congruentes?

10.

Explica por qué la siguiente conjetura es verdadera.

Conjetura: Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes.

Usa el diagrama para justificar tu razonamiento. Recuerda comenzar por marcar en el diagrama lo que te dicen que es verdadero (AAA).

11.

Mia cree que la siguiente conjetura es verdadera. Ella la llama “Semejanza de triángulos AA”. ¿Qué piensas? ¿Es verdadera? ¿Por qué?

Conjetura: Dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de ángulos correspondientes que son congruentes.

12.

Si usas el diagrama del problema 10 y la siguiente información sobre los dos triángulos, ¿cómo puedes modificar tu demostración de que $△ A B C \sim △ D E F$ ?

a.

$∠ A ≅ ∠ D$ , $D E = k \cdot A B, D F = k \cdot A C$ ; es decir, $\frac{D E}{A B} = \frac{D F}{A C}$ .

b.

$D E = k \cdot A B, D F = k \cdot A C$ , $E F = k \cdot B C$ ; es decir, $\frac{D E}{A B} = \frac{D F}{A C} = \frac{E F}{B C}$ .

¿Listo para más?

Compara y contrasta las maneras en las que se puede demostrar que dos triángulos son congruentes y las maneras en las que se puede demostrar que dos triángulos son semejantes. ¿Hay otros teoremas de semejanza de triángulos que se puedan enunciar y demostrar?

Aprendizajes

Para demostrar que dos polígonos son semejantes debemos mostrar que todos los ángulos correspondientes son congruentes y que todos los pares de lados correspondientes son proporcionales. Sin embargo, si los polígonos son triángulos podemos demostrarlo usando menos información y aplicando uno de los siguientes teoremas:

Cuando reflexioné sobre el trabajo con los teoremas de semejanza de triángulos, aprendí o recordé estas ideas sobre el proceso de escribir demostraciones:

Notación, convenciones y vocabulario

En español, la palabra semejante significa:

En un contexto matemático, la palabra semejante significa:

En una definición alternativa, la semejanza de polígonos significa:

Vocabulario

semejanza
semejanza LAL de triángulos
semejanza LLL de triángulos
semejanza de triángulos
teorema de semejanza AA
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección exploramos qué significa decir que dos figuras son semejantes geométricamente y analizamos bajo qué condiciones dos triángulos son semejantes. Escribimos y justificamos varios teoremas sobre criterios para la semejanza de triángulos.

Repaso

Soluciona cada ecuación de proporción. Muestra tu trabajo y comprueba tu solución.

1.

$\frac{2}{5} = \frac{x}{20}$

2.

$\frac{3}{7} = \frac{18}{b}$

3.

$\frac{4}{x + 2} = \frac{1}{3}$

4.

Escribe tres razones equivalentes para los polígonos semejantes.