Lección 7 Pitágoras y proporciones Practico lo que aprendí

Actividad inicial

En el diagrama, la longitud de los lados del cuadrado exterior es $a + b$ y la longitud de los lados del cuadrado interior es $c$ . Vas a usar este diagrama para demostrar algebraicamente el teorema de Pitágoras. Vas a demostrar que el área del cuadrado interior, $c^{2}$ , también es igual a $a^{2} + b^{2}$ .

1.

Desarrolla ${(a + b)}^{2}$ para encontrar una expresión que represente el área del cuadrado exterior.

2.

Representa el área de uno de los cuatro triángulos en términos de $a$ y $b$ .

3.

Encuentra el área encerrada por los cuatro triángulos pequeños en términos de $a$ y $b$ .

4.

Réstale el área de los cuatro triángulos pequeños al área del cuadrado exterior.

5.

¿Por qué con esto se demuestra el teorema de Pitágoras?

Focos de aprendizaje

Demostrar el teorema de Pitágoras algebraicamente.

¿Cuándo y cómo puedo usar álgebra en una demostración geométrica?

¿Qué nos muestran las distintas demostraciones del teorema de Pitágoras?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

1.

El teorema de Pitágoras tiene muchas demostraciones. Esta demostración se basa en triángulos semejantes.

Paso 1: Recorta una tarjeta bibliográfica de $4 \times 6$ por una de sus diagonales. Se forman dos triángulos rectángulos congruentes.

Paso 2: En cada triángulo rectángulo, dibuja una altura desde el vértice donde está el ángulo recto hasta la hipotenusa. (Usa el ángulo recto del otro triángulo como ayuda para dibujar la altura con precisión). Dibuja esta altura en las caras de adelante y de atrás del triángulo.

Paso 3: Marca ambos triángulos como se muestra en el diagrama. Marca con una $h$ la longitud de la altura. Voltea el triángulo y marca los lados y los ángulos correspondientes en la cara de atrás con el mismo nombre que tienen en la cara de adelante.

Paso 4: Recorta uno de los triángulos rectángulos por la altura. Se van a formar dos triángulos rectángulos más pequeños.

2.

Paso 5: Organiza los tres triángulos de una manera que te convenza de que los tres triángulos rectángulos son semejantes. Es posible que tengas que reflejar y/o rotar uno o más triángulos para organizarlos.

Paso 6: Escribe ecuaciones de proporción que representen varias relaciones entre los lados que están marcados en los triángulos. (Nota: El lado $c$ se descompuso en dos segmentos $x$ y $y$ . La suma de estos dos segmentos es $c$ ).

Paso 7: Despeja $x$ en una de tus ecuaciones y despeja $y$ en la otra ecuación. (Si no escribiste una ecuación de proporción que incluya a $x$ ni otra que incluya a $y$ , revisa tu colección de triángulos hasta que puedas escribirlas).

Paso 8: Manipula las ecuaciones que escribiste en el paso 7 hasta que puedas demostrar algebraicamente que $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . (Recuerda que $x + y = c$ ).

¿Listo para más?

Usa tu colección de triángulos como ayuda para demostrar los siguientes dos teoremas:

1.

Teorema 1 de la altura de un triángulo rectángulo: Si se dibuja una altura hasta la hipotenusa de un triángulo rectángulo, la longitud de la altura es la media geométrica de las longitudes de los dos segmentos que se forman en la hipotenusa.

2.

Teorema 2 de la altura de un triángulo rectángulo: Si se dibuja una altura hasta la hipotenusa de un triángulo rectángulo, la longitud de cada cateto del triángulo rectángulo es la media geométrica de la longitud de la hipotenusa y la longitud del segmento de la hipotenusa que es adyacente a ese cateto.

3.

Usa tu colección de triángulos como ayuda para encontrar los valores de $x$ y $y$ del siguiente diagrama.

Aprendizajes

Hoy observé estas cosas interesantes sobre los triángulos rectángulos cuando dibujé la altura del triángulo desde el vértice donde está el ángulo recto hasta la hipotenusa:

Vocabulario

altura
media geométrica
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En la lección de hoy aprendimos que si dibujamos la altura de un triángulo rectángulo desde el vértice donde está el ángulo recto hasta la hipotenusa, el triángulo queda dividido en dos triángulos más pequeños que son semejantes entre sí y que también son semejantes al triángulo rectángulo original. Pudimos demostrar el teorema de Pitágoras usando ecuaciones de proporción de los tres triángulos semejantes.

Repaso

1.

Menciona dos maneras de decidir si dos figuras son semejantes.

2.

¿Cuáles de los siguientes triángulos son semejantes entre sí? ¿Por qué?

3.

La tabla representa una sucesión aritmética. Encuentra los valores que faltan y escribe una regla explícita de la función que define la sucesión.

Término	$1$	$2$	$3$	$4$
Valor	$3$			$24$

Regla explícita de la función:

4.

La tabla representa una sucesión geométrica. Encuentra los valores que faltan y escribe una regla explícita de la función que define la sucesión.

Término	$1$	$2$	$3$	$4$
Valor	$3$			$192$

Regla explícita de la función: