Lección 10 Encontremos el valor de una relación Consolido lo que aprendí
Focos de aprendizaje
Encontrar las medidas desconocidas de los lados y de los ángulos de un triángulo rectángulo.
Si conocemos dos lados o dos ángulos de un triángulo rectángulo, podemos encontrar las medidas desconocidas del tercer lado o del tercer ángulo con el teorema de Pitágoras o el teorema de la suma para los triángulos. Pero ¿qué información necesitamos para encontrar las medidas desconocidas en un triángulo rectángulo ahora que ya tenemos las razones trigonométricas como herramienta para hacer cálculos?
¿Cómo usamos la trigonometría para hacer mediciones indirectas cuando el objeto geométrico no se puede medir directamente?
Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión
Parte 1: Escoge un lado
Andrea y Bonita descansan bajo su árbol favorito antes de dar un paseo por la montaña. Ambas han estado estudiando trigonometría en la escuela y ahora les parece ver triángulos rectángulos en todas partes. Por ejemplo, Andrea observa la sombra del árbol bajo el que están sentadas y se pregunta si pueden calcular la altura del árbol solo midiendo la longitud de la sombra.
Bonita cree que también necesitan saber la medida de un ángulo, así que busca en una aplicación de su teléfono y lee que, donde están, el sol tiene un ángulo de elevación de
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¿Cómo pueden Andrea y Bonita usar esta información, junto con lo que saben sobre las razones trigonométricas, para calcular la altura del árbol? (Andrea y Bonita saben que pueden encontrar el valor de cualquier razón trigonométrica que necesiten para cualquier ángulo agudo con una calculadora).
Parte 2: ¿Cuál es tu ángulo?
Después del descanso, Andrea y Bonita subieron la montaña directo hacia la cima. Andrea hizo estiramientos antes de empezar, mientras que Bonita decidió arrancar de una vez. Cuando Bonita estaba a
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Indica las razones trigonométricas para el ángulo
Cuando Andrea llegó, dijo: “¿Y las medidas desconocidas de los ángulos? Cuando yo estaba abajo y te vi arriba, pensé en la medida del ángulo que se forma ‘hacia arriba’ desde mi posición hasta la tuya. Según tu dibujo, ese sería el ángulo
Según las niñas, debían pensar al revés: en vez de conocer un ángulo y usar sus calculadoras para encontrar una razón trigonométrica, como en el problema de la altura del árbol, ahora conocen la razón trigonométrica y necesitan encontrar la medida desconocida del ángulo. Bonita observa el botón
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¿Cómo puede convencer este resultado a Bonita de que lo que supuso sobre la calculadora es correcto?
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Usa la razón trigonométrica
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Observa el triángulo rectángulo. Encuentra todos los valores desconocidos:
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Bonita y Andrea hablan sobre todas las maneras de encontrar los valores desconocidos de un triángulo rectángulo y deciden hacer una lista. ¿Qué crees que debería haber en su lista? Sé específico y preciso. Por ejemplo, “las razones trigonométricas” no es específico. Usa el siguiente esquema de oración como ayuda para escribir cada elemento de tu lista:
Cuando nos dan , podemos encontrar así: .
Parte 3: Ángulo de elevación y ángulo de depresión
Durante su caminata, Andrea mencionó que miró hacia arriba para ver a Bonita. En matemáticas, cuando miras en línea recta, decimos que la recta de visión es una recta horizontal. Si miras hacia arriba, el ángulo que se forma desde la horizontal hasta tu recta de visión se llama el ángulo de elevación. Similarmente, si miras hacia abajo, el ángulo que se forma desde la horizontal hasta tu recta de visión se llama el ángulo de depresión.
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Después de leer esta descripción, Andrea mencionó que su ángulo de elevación para ver a Bonita medía aproximadamente
8.
¿Qué conclusión puedes sacar sobre el ángulo de depresión y el ángulo de elevación? ¿Por qué?
¿Listo para más?
Si caminas de noche y te alejas de un poste de luz de
Aprendizajes
Haz una lista de todas las maneras de encontrar valores desconocidos de triángulos rectángulos. Sé específico y preciso. Por ejemplo, “las razones trigonométricas” no es específico. Usa el siguiente esquema de oración como ayuda para escribir cada elemento de tu lista:
Cuando nos dan , podemos encontrar así: .
Identifica el ángulo de elevación y el ángulo de depresión en el siguiente diagrama:
Vocabulario
- razón trigonométrica inversa
- ángulo de depresión / ángulo de elevación
- Los términos en negrita son nuevos en esta lección.
Resumen de la lección
En esta lección aprendimos nuevas estrategias para encontrar medidas desconocidas de lados y ángulos de un triángulo rectángulo. Esto es útil si no conocemos suficientes medidas de los lados o de los ángulos como para usar el teorema de Pitágoras o el teorema de la suma para los triángulos. Nos dimos cuenta de que en un triángulo rectángulo las razones trigonométricas sirven para encontrar longitudes de lado y las relaciones trigonométricas inversas sirven para encontrar medidas de ángulos. Con estas herramientas podemos encontrar todas las medidas de los lados y ángulos desconocidos de un triángulo rectángulo cuando nos dan dos datos: dos longitudes de los lados del triángulo, o la longitud de un lado y la medida de un ángulo.
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Dibuja esta situación y marca todas las partes del dibujo que puedas.
Tiana está parada en el fondo de un cañón que tiene unas paredes que parecen llegar hasta el cielo. Ella intenta medirlas. Tiana mide una distancia de
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Usa el triángulo rectángulo para encontrar la longitud desconocida del lado, las medidas desconocidas de los ángulos y las razones que se indican.
3.
Usa la información que te dan en el triángulo rectángulo para encontrar las longitudes desconocidas de los lados.