Lección 9 Relaciones significativas Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Analizar las propiedades de las expresiones trigonométricas.

¿Qué relaciones puedo observar entre las razones trigonométricas de los dos ángulos de referencia de un triángulo rectángulo?

¿Cómo influyen las propiedades de un triángulo rectángulo en las afirmaciones algebraicas que tienen expresiones trigonométricas?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

1.

La razón seno de un ángulo de $30 °$ es $0.5$ . Esto lo escribimos así: $\sin (30) = 0.5$ . Con esta información, encuentra las medidas desconocidas de los lados del triángulo rectángulo:

2.

a.

Puedes usar calculadora científica o calculadora gráfica para encontrar los valores de las razones trigonométricas.

Con calculadora, encuentra las razones coseno y seno de $50 °$ : $\cos (50) \approx \underset{―}{}$ , $\sin (50) \approx \underset{―}{}$ .

b.

Usa esta información para encontrar las longitudes desconocidas de los dos lados del triángulo rectángulo:

3.

Usa tu calculadora para buscar la información que necesitas para encontrar la longitud de lado que te piden en cada caso. Anota todo tu trabajo, incluidas las razones trigonométricas que uses, para que los demás puedan entenderlo.

a.

Encuentra la longitud del lado adyacente al ángulo de $75 °$ .

b.

Encuentra la longitud del lado opuesto al ángulo de $35 °$ .

c.

Encuentra la longitud de la hipotenusa.

4.

Usa la información del triángulo dado para escribir las siguientes razones trigonométricas:

$\sin (A) = \frac{opuesto}{hipotenusa} = \underset{―}{}$

$\cos (A) = \frac{adyacente}{hipotenusa} = \underset{―}{}$

$\tan (A) = \frac{opuesto}{adyacente} = \underset{―}{}$

$\sin (B) = \underset{―}{}$

$\cos (B) = \underset{―}{}$

$\tan (B) = \underset{―}{}$

5.

Usa la información del triángulo dado para escribir las siguientes razones trigonométricas:

$\sin (A) = \underset{―}{}$

$\cos (A) = \underset{―}{}$

$\tan (A) = \underset{―}{}$

$\sin (B) = \underset{―}{}$

$\cos (B) = \underset{―}{}$

$\tan (B) = \underset{―}{}$

6.

Usa la información de los dos problemas anteriores para escribir algunas observaciones sobre las relaciones que hay entre las razones trigonométricas de los dos ángulos de referencia de estos triángulos rectángulos.

7.

¿Crees que estas observaciones siempre van a ser verdaderas? ¿Por qué sí o por qué no?

Estas son conjeturas que hicieron unos estudiantes sobre los triángulos rectángulos y las relaciones trigonométricas. Para cada una, indica si crees que la conjetura es verdadera o falsa. Justifica tu respuesta.

8.

$\cos (A) = \sin (A)$

9.

$\tan (A) = \frac{\sin (A)}{\cos (A)}$

10.

$\sin (A) = \cos (90 ° - A)$

11.

$\cos (A) = \sin (B)$

12.

$\cos (B) = \sin (90 ° - A)$

13.

$\tan (A) = \frac{1}{\tan (B)}$

Ten en cuenta la siguiente convención que se usa como abreviación: ${[\sin (A)]}^{2} = \sin^{2} (A)$ .

14.

$\sin^{2} (A) + \cos^{2} (A) = 1$

15.

$1 - \sin^{2} (A) = \cos^{2} (A)$

16.

$\sin^{2} (A) = \sin (A^{2})$

¿Listo para más?

Supón que nos dan un triángulo rectángulo que tiene esta razón trigonométrica: $\sin (30 °) = \frac{1}{2}$ . Encuentra todas las razones trigonométricas de este triángulo. ¿Cómo sabes que tus igualdades siempre son verdaderas cuando nos dan este ángulo?

Aprendizajes

Dadas las medidas de un ángulo agudo y de un lado de un triángulo rectángulo, podemos encontrar las demás longitudes de los lados así:

Una identidad es una ecuación algebraica que es verdadera para todos los valores de la variable. Cuando exploramos razones trigonométricas, existen resultados sorprendentes. Las siguientes identidades trigonométricas son ejemplos de algunas observaciones que hicimos hoy para los ángulos agudos de un triángulo rectángulo:

Vocabulario

ángulos complementarios
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección analizamos algunas relaciones entre las razones trigonométricas, por ejemplo, una relación entre el seno y el coseno de dos ángulos complementarios. Justificamos nuestras observaciones usando propiedades de triángulos rectángulos, incluyendo el teorema de Pitágoras, que nos da una relación entre las longitudes de los lados.

Repaso

1.

Encuentra la circunferencia y el área del círculo.

2.

Encuentra el área de superficie y el volumen del prisma rectangular.

3.

¿Cuál es la diferencia entre la pendiente del segmento de recta y su longitud?

Encuentra ambas medidas.