Lección 5 Razonamiento a la medida Practico lo que aprendí

Actividad inicial

a.

Escoge un vértice de cada uno de los siguientes polígonos y dibuja todas las diagonales posibles del polígono que incluyan ese vértice.

Triangle Quadrilateral, pentagon, and hexagon.

b.

¿Qué conjetura puedes hacer sobre la relación que hay entre el número de diagonales dibujadas desde un vértice y el número de lados del polígono? ¿Puedes explicar por qué pasa esto?

Focos de aprendizaje

Practicar el razonamiento geométrico al hacer cálculos.

En un diagrama, ¿cómo busco una estructura que me permita usar las características conocidas del diagrama para encontrar las medidas desconocidas de los lados y de los ángulos?

¿Qué medidas necesito calcular primero para poder calcular otras medidas?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

En el diagrama, las rectas , , y son todas paralelas.

1.

Encuentra todas las medidas desconocidas de los lados y de los ángulos mediante un razonamiento geométrico y sin usar regla ni transportador. Si crees que es imposible encontrar alguna medida, indica qué información te hace falta.

Parallel lines p,q,r, and s with three transversals.

2.

Identifica todos los triángulos semejantes del diagrama. ¿Cómo sabes que son semejantes: por dilatación o por semejanza AA?

Parallel lines p,q,r, and s with three transversals.

3.

a.

Identifica al menos tres cuadriláteros distintos en el diagrama.

Parallel lines p,q,r, and s with three transversals.

b.

Encuentra la suma de los ángulos internos de cada cuadrilátero.

c.

Escribe una conjetura sobre la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero.

Conjetura:

4.

a.

Identifica al menos tres pentágonos distintos en el diagrama. (Pista: Los pentágonos no tienen que ser convexos).

Parallel lines p,q,r, and s with three transversals.

b.

Encuentra la suma de los ángulos internos de cada pentágono.

c.

Escribe una conjetura sobre la suma de los ángulos internos de un pentágono.

Conjetura:

5.

¿Ves algún patrón relacionado con la suma de los ángulos de un polígono a medida que el número de lados aumenta? Si es así, escribe una conjetura.

¿Listo para más?

¿Cómo puedes convencerte de que el patrón que observaste para la suma de los ángulos internos de triángulos, cuadriláteros, pentágonos y hexágonos también vale para todos los polígonos de lados? Escribe y demuestra tu conjetura.

Aprendizajes

Al usar el teorema que dice que la suma de los ángulos internos de un triángulo es , encontramos una fórmula para la suma de los ángulos internos de cualquier polígono:

Este diagrama se puede usar para mostrar por qué esto es verdadero:

Este teorema es verdadero para polígonos convexos y polígonos cóncavos.

Para encontrar las medidas desconocidas de los lados y ángulos de un diagrama complicado, tengo que buscar estructuras en el diagrama. Estas son algunas figuras geométricas que usé hoy:

Vocabulario

Resumen de la lección

En esta lección usamos varios teoremas para justificar los cálculos que hicimos para encontrar medidas desconocidas de lados y ángulos. Para saber qué teoremas usar, tuvimos que analizar las características que podíamos ver en el diagrama. Podíamos usar varias estrategias para encontrar muchas de las medidas. También usamos el diagrama, junto con las medidas que calculamos, para formular y justificar una conjetura sobre la suma de los ángulos internos de cualquier polígono, parecida al teorema que demostramos antes sobre la suma de los ángulos internos de un triángulo.

Repaso

1.

Encuentra las longitudes desconocidas de los lados de los triángulos rectángulos. Después, indica si los triángulos son semejantes o no.

Small right triangle with one leg 5, hypotenuse 13. Larger right triangle with one leg 9 and the other leg 12.

Longitud de lado desconocida del triángulo pequeño =

Longitud de lado desconocida del triángulo grande =

¿Son semejantes?

Soluciona cada ecuación.

2.

3.

4.