Lección 12 Aritmética de vectores Consolido lo que aprendí

Actividad inicial

Observa y pregúntate:

Analiza la siguiente lista con cantidades. Describe al menos dos cosas que observes y algo que te preguntes:

Un libro cuesta $5 d \overset{´}{o} lares$ .
Un viento sopla hacia el noreste, a $30 millas por hora$ .
Una repisa tiene $200 pulgadas cuadradas$ .
La fuerza de la gravedad atrae los objetos hacia el suelo y su aceleración es $32 \frac{pies}{s^{2}}$ .
Un avión vuela directamente hacia el oeste, a $520 \frac{millas}{hora}$ .
Hay $12 gramos$ de plata.

Focos de aprendizaje

Representar cantidades que tienen magnitud y dirección usando vectores y analizar la aritmética de vectores.

¿Cómo representamos cantidades que tienen magnitud (tamaño) y dirección?

¿Cómo sumamos o restamos cantidades que tienen magnitud y dirección?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

El siguiente diagrama muestra un triángulo que se trasladó y después se trasladó otra vez. Las flechas muestran el movimiento de uno de los vértices en cada traslación. El resultado de las dos traslaciones también puede obtenerse con una sola traslación, como muestra la tercera flecha en el diagrama.

1.

Dibuja varias flechas que muestren cómo se movieron los otros dos vértices mediante la secuencia de traslaciones. Después, dibuja una flecha que represente la traslación total que resulta. ¿Qué observas acerca de cada conjunto de flechas?

Un vector es una cantidad que tiene magnitud y dirección. Las flechas que dibujaste en el diagrama son vectores que representan traslaciones: cada traslación tiene magnitud (la distancia recorrida) y dirección (la dirección en la que se mueve el objeto). Una flecha, o un segmento de recta dirigido, es una manera de representar un vector.

Suma de vectores

En el ejemplo, dos vectores $\vec{v}$ y $\vec{w}$ se ubicaron uno junto al otro y se formó el vector $\vec{r}$ . Esto es lo que significa “sumar vectores”.

2.

Estudia cada uno de los siguientes tres métodos para sumar vectores. Después, ensaya cada método para sumar los vectores $\vec{s}$ y $\vec{t}$ del diagrama y encuentra el vector $\vec{q}$ que cumple la igualdad $\vec{s} + \vec{t} = \vec{q}$ .

a.

Método 1: Extremo con extremo

El diagrama del problema 1 ilustra la estrategia de extremo con extremo (o punto inicial a punto final) para sumar dos vectores y obtener un vector que represente la suma. En este caso, el vector que se obtiene muestra que con una sola traslación se podría lograr el mismo movimiento que con la combinación de las dos traslaciones por separado. Es decir, $\vec{v} + \vec{w} = \vec{r}$ .

b.

Método 2: La regla del paralelogramo

Dado que podemos mover la flecha que representa un vector, podemos dibujar ambos vectores de forma que comiencen en el mismo punto. Con frecuencia, ambos vectores se mueven para que sus colas comiencen en el origen. Así, los vectores son dos lados de un paralelogramo y podemos dibujar los otros dos lados. La suma que se obtiene es el vector que se representa con la flecha que se dibujó desde el punto de partida común (por ejemplo, el origen) hasta el vértice opuesto del paralelogramo.

Una pregunta para pensar: ¿Cómo puedes averiguar dónde marcar el vértice que falta en el paralelogramo?

c.

Método 3: Usar componentes horizontales y verticales

Cada vector tiene una componente horizontal y una componente vertical. Por ejemplo, el vector $\vec{v}$ consiste en un movimiento horizontal de $8$ unidades y un movimiento vertical de $13$ unidades. Esto se representa con la notación $⟨ 8, 13 ⟩$ . El vector $\vec{w}$ consiste en un movimiento horizontal de $7$ unidades y un movimiento vertical de $- 5$ unidades, que se representa con la notación $⟨ 7, - 5 ⟩$ .

d.

Explica por qué todos estos métodos dan el mismo resultado.

Una pregunta para pensar: ¿Cómo se pueden combinar las componentes de los vectores por separado para encontrar las componentes horizontal y vertical del vector $\vec{r}$ que se obtiene?

3.

Observa el vector $\vec{s}$ en el diagrama. Aunque podemos mover este vector, su cola está en $(3, 2)$ y su cabeza está en $(5, 7)$ . Explica cómo puedes encontrar las componentes horizontal y vertical de un vector solo a partir de las coordenadas de los puntos que representan su cola y su cabeza. Es decir, ¿cómo puedes encontrar las componentes de los movimientos horizontal y vertical sin tener que contar unidades horizontalmente o verticalmente en la cuadrícula?

Magnitud de un vector

El símbolo $‖ \overset{⇀}{v} ‖$ se usa para denotar la magnitud del vector. En este caso, es la longitud del vector.

Inventa un método para encontrar la magnitud de un vector usando el diagrama del comienzo de la actividad. Usa tu método para encontrar las siguientes magnitudes. Prepárate para describir tu método.

4.

$‖ \vec{v} ‖$

5.

$‖ \vec{w} ‖$

6.

$‖ \vec{v} + \vec{w} ‖$

Múltiplos escalares de vectores

Para alargar un vector, lo podemos multiplicar por un factor de escala. Por ejemplo, $2 \overset{⇀}{v}$ representa el vector que tiene la misma dirección que $\overset{⇀}{v}$ pero el doble de magnitud que $\overset{⇀}{v}$ .

Dibuja cada vector en la cuadrícula de coordenadas:

7.

$3 \vec{s}$

8.

$- 2 \vec{t}$

9.

$3 \vec{s} + (- 2 \vec{t})$

10.

$3 \vec{s} - 2 \vec{t}$

Más aplicaciones de vectores

Ya mostramos el concepto de vector usando traslación de vectores, donde la magnitud representa la distancia que se traslada un punto. Hay otras cantidades que tienen magnitud y dirección, pero en las que la magnitud no representa la longitud.

Por ejemplo, pensemos en un automóvil que viaja a $55 millas por hora$ por una autopista recta y angosta. Esta velocidad se puede representar con un vector porque la velocidad del automóvil tiene magnitud, $55 millas por hora$ , y el automóvil viaja en una dirección específica. Otro ejemplo consiste en empujar un objeto con una fuerza de $25 libras$ . La fuerza se puede representar con un vector porque la fuerza tiene una magnitud, $25 libras$ , y esta va en una dirección específica.

11.

Un nadador está en un río y nada a una velocidad de $20 \frac{pies}{segundo}$ y con un ángulo de $45^{\circ}$ respecto a la orilla del río. El río fluye a una velocidad de $5 \frac{pies}{segundo}$ . Muestra esta situación usando un diagrama de vectores. Indica el significado del vector que representa la suma de los dos vectores que muestran el movimiento del nadador y el flujo del río.

12.

Dos equipos participan en el juego de tirar de la cuerda. Un equipo hala la cuerda con una fuerza total de $200 libras$ en una dirección. El otro equipo hala la cuerda con una fuerza total de $150 libras$ en la otra dirección. Muestra esta situación con un diagrama de vectores. Incluye el vector que es igual a la suma de los vectores que representan las fuerzas de cada uno de los dos equipos y describe su significado.

¿Listo para más?

Haz una lista de todas las cantidades vectoriales que se te ocurran, es decir, que tengan magnitud y dirección. Después, crea un escenario a partir de algunas de estas cantidades vectoriales, parecido a los escenarios de los problemas 11 y 12. Si te ayuda, pídele ejemplos a un profesor de física de tu escuela.

Aprendizajes

Para sumar vectores puedo usar tres estrategias:

Para restar vectores:

Para multiplicar un vector por un escalar:

Notación, convenciones y vocabulario

Cantidades escalares:

Cantidades vectoriales:

Vocabulario

cantidad escalar
dirección de un vector
distancia dirigida
magnitud de un vector
vector, cantidad vectorial
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos cómo representar cantidades que tienen magnitud y dirección en una cuadrícula de coordenadas usando un segmento de recta dirigido (o vector). Por ejemplo, representamos un viento que sopla a $30 mph$ hacia el noreste. También aprendimos cómo sumar y restar cantidades vectoriales y analizamos contextos en los que la aritmética de vectores es útil.

Repaso

1.

Rota el punto $E$ $90 °$ alrededor del origen y en sentido contrario a las manecillas del reloj. Márcalo con la letra $E^{'}$ .
Rota el punto $E$ $180 °$ alrededor del origen y en sentido contrario a las manecillas del reloj. Márcalo con la letra $E^{″}$ .
Encuentra la ecuación del círculo que pasa por $E$ , $E^{'}$ y $E^{″}$ .

2.

Multiplica las matrices.

$[\begin{array}{rr} 2 & 3 \\ - 5 & 1 \\ 7 & - 4 \end{array}] \cdot [\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ - 1 & 1 \end{array}]$