Lección 5 Hacia el centro Consolido lo que aprendí

Actividad inicial

En cada caso, completa la expresión con el término que falta para que la expresión sea un trinomio cuadrado perfecto. Después escribe una expresión equivalente. (Puedes usar un diagrama como ayuda).

a.

$x^{2} + 6 x \underset{―}{}$

b.

$y^{2} + 4 y \underset{―}{}$

c.

$x^{2} - 10 x \underset{―}{}$

Focos de aprendizaje

Escribir y graficar la ecuación de un círculo.

Encontrar el centro y el radio de un círculo a partir de su ecuación en forma general.

¿Las traslaciones funcionan en los círculos como en las funciones?

¿Cómo se relacionan las diferentes formas de la ecuación de un círculo?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

La familia de Malik decidió ubicar un nuevo sistema de riego en su jardín. Malik se ofreció a planear el sistema y a dibujarlo en una cuadrícula. Los aspersores, que están disponibles en la ferretería, rocían el agua en un círculo completo con un radio máximo de $15 pies$ , pero se pueden ajustar para rociar con un radio menor. Malik sabe que para regar todo el jardín necesitará que algunos de los patrones de agua circulares se sobrepongan. Él dibuja un diagrama a escala del jardín en una hoja de papel cuadriculado. En este diagrama, la longitud del lado de cada cuadrado representa $5 pies$ .

1.

Mientras piensa en cómo ubicar los aspersores, sus padres le piden que intente cubrir todo el césped con el menor número posible de aspersores para ahorrar algo de dinero. La ecuación del primer círculo que Malik dibuja para representar el área regada por el aspersor es:

${(x + 25)}^{2} + {(y + 20)}^{2} = 225$

Dibuja este círculo en el diagrama con ayuda de un compás.
Ayuda a Malik a diseñar una configuración posible para el sistema de riego. Para esto, dibuja en el diagrama anterior dos aspersores más y el área que cubren con el riego.
Encuentra la ecuación de cada uno de los círculos que dibujaste.

Malik escribió la ecuación de uno de los círculos. Como le gusta jugar con el álgebra, hizo lo siguiente:

Ecuación original:

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 225$

$x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} + 4 y + 4 = 225$ $x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 212 = 0$

Malik pensó: “Esto es genial. Es la misma ecuación, pero escrita de otra forma. Creo que puede haber diferentes formas de escribir la ecuación de un círculo, así como hay diferentes formas de escribir la ecuación de una parábola o de una recta”. Le mostró su ecuación a su hermana, Sapana, y a ella le pareció que estaba loco.

Sapana dijo: “Esa ecuación es absurda. Ya no puedo saber dónde está el centro ni cuál es la longitud del radio”. Malik dijo: “Ahora es como un acertijo para ti. Te daré una ecuación escrita en la forma nueva. Te apuesto que no puedes descubrir dónde está el centro”.

Sapana dijo: “Claro que puedo. Haré lo mismo que hiciste, pero al revés”.

2.

Malik le dio a Sapana esta ecuación de un círculo:

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 10 y + 20 = 0$

Ayuda a Sapana a encontrar el centro y la longitud del radio del círculo.

3.

Sapana dijo: “Escribí una para ti. ¿Cuál es el centro y la longitud del radio de este círculo?”.

$x^{2} + y^{2} + 6 x - 14 y - 42 = 0$

4.

Sapana dijo: “Todavía no sé para qué puede ser útil esta forma de la ecuación. Cuando teníamos diferentes formas de otras ecuaciones, como las de rectas y parábolas, en cada una se destacaban características diferentes de la relación”. ¿Para qué puede ser útil esta forma de la ecuación de un círculo?

$x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$

¿Listo para más?

Indica cómo podrías usar la forma general de la ecuación de un círculo, $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ , para encontrar la ecuación del círculo que tiene los siguientes puntos: $p (2, 1)$ , $q (0, 5)$ , $r (- 1, 2)$ .

Inténtalo. Trata de encontrar los valores de $A$ , $B$ y $C$ para escribir la ecuación del círculo.

Aprendizajes

Forma general de la ecuación de un círculo:

Forma estándar de la ecuación de un círculo:

Cambiando de la forma general a la forma estándar:

Ejemplo: $x^{2} + y^{2} - 2 x - 6 y + 5 = 0$	Descripción de los pasos:

Vocabulario

círculo: ecuación en forma estándar; ecuación en forma general
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos a escribir ecuaciones de círculos en forma estándar y en forma general. Usamos el proceso de completar el cuadrado para cambiar una ecuación de la forma estándar a la forma general.

Repaso

1.

La gráfica de $f (x) = \sqrt[3]{x}$ se traslada $5$ unidades hacia la derecha y $7$ unidades hacia abajo. Después se amplía verticalmente por un factor de $9$ . Escribe la ecuación de la función que se obtiene después de las transformaciones.

Halla $x$ .

2.

$\frac{3}{7} x - 8 = 13$

3.

$x^{2} - 11 x = 42$