Lección 8 Hagamos que las parábolas funcionen Consolido lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Escribir y graficar parábolas.

Comparar la definición geométrica de las parábolas con las funciones cuadráticas.

¿Qué relación hay entre las parábolas que se generan con un foco y una directriz y las funciones cuadráticas?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Dibuja cada gráfica (con al menos un par de puntos ubicados con precisión a cada lado de la recta de simetría). Luego, encuentra el vértice y usa la definición geométrica de una parábola para escribir la ecuación de la misma.

1.

Directriz $y = - 4$ , foco $A (2, - 2)$

Vértice:

Ecuación:

2.

Directriz $y = 2$ , foco $A (- 1, 0)$

Vértice:

Ecuación:

3.

Directriz $y = 3$ , foco $A (1, 7)$

Vértice:

Ecuación:

4.

Directriz $y = 3$ , foco $A (2, - 1)$

Vértice:

Ecuación:

5.

Dados el foco y la directriz, ¿cómo puedes encontrar el vértice de la parábola?

6.

Dados el foco y la directriz, ¿cómo puedes saber si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo?

7.

¿Cómo ves que aparece la distancia entre el foco y el vértice (o el vértice y la directriz) en las ecuaciones que escribiste?

8.

Describe un patrón para escribir la ecuación de una parábola dados el foco y la directriz.

9.

Annika se pregunta por qué de pronto estamos pensando en parábolas de una manera completamente diferente a cuando trabajamos con funciones cuadráticas. Ella se pregunta qué tienen en común estas maneras diferentes de pensar. Por ejemplo, antes cuando hablamos acerca de funciones cuadráticas empezamos con $y = x^{2}$ . Ella pensó: “Mmm… me pregunto dónde estarán el foco y la directriz en esta función”. Ayuda a Annika a encontrar el foco y la directriz de $y = x^{2}$ .

10.

Annika piensa: “Veo que puedes encontrar el foco y la directriz de una función cuadrática, ¿pero qué pasa con estas nuevas parábolas? ¿Son funciones cuadráticas? Cuando trabajamos con familias de funciones, vimos que están definidas por sus tasas de cambio. Por ejemplo, podemos reconocer una función lineal porque tiene una tasa de cambio constante”. ¿Cómo le responderías a Annika? ¿Estas nuevas parábolas son funciones cuadráticas? Justifica tu respuesta usando varias representaciones y las parábolas de los problemas del 1 al 4 como ejemplos.

¿Listo para más?

Una parábola tiene un eje vertical de simetría con vértice en $(1, 4)$ y foco en $(1, 2)$ . Encuentra la ecuación de la parábola y la ecuación de la directriz.

Aprendizajes

La ecuación de una parábola con directriz horizontal, vértice $(h, k)$ y distancia $p$ entre el vértice y el foco:

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos que la gráfica de una función cuadrática cumple con la definición de una parábola. Aprendimos a escribir ecuaciones si tenemos el foco y la directriz. También aprendimos a encontrar el foco y la directriz de la parábola cuando se tiene la ecuación de una función cuadrática.

Repaso

1.

Esta es una actividad que puedes usar para responder las preguntas de la primera parte de tu tarea. Intenta hacerlo solo. Si tienes dificultades, tu profesor te ayudará.

Dobla una hoja de papel cuadrada verticalmente por la mitad y marca un punto en cualquier parte del doblez.
Marca varios puntos a lo largo del lado inferior del papel. Llama al lado inferior del papel la directriz y al punto el foco.
Dobla el lado inferior del papel hacia arriba de manera que cada punto del lado inferior toque el punto que está en el doblez vertical (el foco).
Haz un doblez cada vez que unas un punto del lado inferior con el punto que es el foco.
Haz esto de manera repetida desde diferentes puntos del lado inferior. Los dobleces entre el foco y el lado inferior del papel deben formar una parábola.

2.

Encuentra el valor máximo o mínimo de la ecuación cuadrática. Indica cuál es.

$y = - x^{2} + 6 x - 2$