Lección 8 Hagamos que las parábolas funcionen Consolido lo que aprendí

Prepárate

Encuentra una hoja de papel cuadrada. (Aunque el papel transparente funciona mejor, una nota adhesiva también puede servir).

Dobla el cuadrado verticalmente por la mitad y marca un punto en cualquier parte del doblez. Marca varios puntos a lo largo del lado inferior del papel. Llama al lado inferior del papel la directriz y al punto el foco. Dobla el lado inferior del papel hacia arriba de manera que cada punto del lado inferior toque el punto que está en el doblez vertical (el foco). Haz un doblez cada vez que unas un punto del lado inferior con el punto que es el foco.

Haz esto de manera repetida desde diferentes puntos del lado inferior. (Si no puedes ver los dobleces, pon una marca en el doblez cada vez que unas un punto de la parte inferior de la hoja con el foco). Los dobleces entre el foco y el lado inferior deben formar una parábola.

Experimenta en otra hoja y mueve el foco.

Usa tus experimentos para responder las siguientes preguntas.

1.

¿Cómo cambiaría la parábola si el foco se moviera hacia arriba alejándolo de la directriz?

2.

¿Cómo cambiaría la parábola si el foco se moviera hacia abajo acercándolo a la directriz?

3.

¿Cómo cambiaría la parábola si el foco se moviera hacia abajo, por debajo de la directriz?

4.

¿Cómo se vería la parábola si la directriz fuera una recta vertical?

5.

Ubica un punto que represente el foco de esta curva en una posición aproximada.

Alístate

6.

Comprueba que $(y - 1) = \frac{1}{4} x^{2}$ es la ecuación de la parábola de la figura 1. Hazlo reemplazando los tres puntos $V (0, 1)$ , $C (4, 5)$ y $E (2, 2)$ en la ecuación.

Muestra lo que haces con cada punto.

7.

Si no supieras que $(0, 1)$ es el vértice de la parábola, ¿podrías haberlo encontrado sólo observando la ecuación? Explica.

8.

Usa el diagrama y la definición geométrica de una parábola para deducir la ecuación de la misma. Recuerda que la definición dice que $F P = P Q$ .

9.

Recuerda la ecuación en el problema 6, $(y - 1) = \frac{1}{4} x^{2}$ . ¿Cuál es el valor de $p$ ?

10.

En general, ¿cuál es el valor de $p$ en cualquier parábola?

11.

En la figura 3, el punto $M$ está a la misma altura que el foco y $\overset{―}{F M} ≅ \overset{―}{M R}$ . ¿Cómo se relacionan las coordenadas de este punto con las coordenadas del foco?

12.

Escribe las coordenadas que faltan para $M$ y $R$ en el diagrama.

Para dibujar la gráfica de cada parábola, encuentra el vértice y los puntos $M$ y $R$ (la reflexión de $M$ ), tal como se definieron en el diagrama anterior. Usa la definición geométrica de una parábola para encontrar la ecuación de la misma.

13.

Directriz $y = 9$ , foco $F (- 3, 7)$

Vértice:

Ecuación:

14.

Directriz $y = - 6$ , foco $F (2, - 2)$

Vértice:

Ecuación:

15.

Directriz $y = 5$ , foco $F (- 4, - 1)$

Vértice:

Ecuación:

16.

Directriz $y = - 1$ , foco $F (4, - 3)$

Vértice:

Ecuación:

¡Vamos!

Completa el cuadrado para encontrar el valor máximo o mínimo de cada función cuadrática.

17.

$f (x) = x^{2} + 6 x - 5$

18.

$f (x) = 3 x^{2} - 12 x + 8$

19.

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 10 x + 13$

20.

$f (x) = - 5 x^{2} + 20 x - 11$