Lección 7Usemos diagramas para representar la multiplicación

Objetivo de aprendizaje

Utilicemos diagramas de área para encontrar productos.

Meta de aprendizaje

Puedo usar diagramas de área y productos parciales para representar y hallar productos de decimales.

Calentamiento: Hagamos una estimación del producto

Para cada uno de los siguientes productos, elige la mejor estimación de su valor. Prepárate para explicar tu razonamiento.

$(6.8) \cdot (2.3)$
1. $1.40$
2. $14$
3. $140$
$74 \cdot (8.1)$
1. $5.6$
2. $56$
3. $560$
$166 \cdot (0.09)$
1. $1.66$
2. $16.6$
3. $166$
$(3.4) \cdot (1.9)$
1. $6.5$
2. $65$
3. $650$

Actividad 1: Relacionemos los diagramas de área con cálculos con números enteros

Problema 1

Estas son tres maneras de encontrar el área de un rectángulo que mide 24 unidades por 13 unidades.

Discute con tu compañero:

¿Qué tienen en común los diagramas? ¿En qué se parecen?
¿En qué se diferencian?
Si fueras a encontrar el área de un rectángulo que mide 37 unidades por 19 unidades, ¿cuál de las tres maneras de descomponer el rectángulo usarías? ¿Por qué

Problema 2

Es posible que estés familiarizado con diferentes formas de escribir cálculos de multiplicación. Estas son dos formas de calcular 24 multiplicado por 13.

Discute con tu compañero:

En el cálculo A, ¿cómo se obtuvieron cada uno de los productos parciales? Por ejemplo, ¿de dónde viene el 12?
En el cálculo B, ¿cómo se obtuvieron el 72 y el 240?
Observa los diagramas en la primera pregunta. ¿Cuál diagrama corresponde al cálculo A? ¿Cuál corresponde al cálculo B?
¿Cómo se relacionan los productos en el cálculo A con los números en los diagramas? ¿Cómo se relacionan el 72 y el 240 en el cálculo B con los números en los diagramas?

Problema 3

Utiliza los siguientes dos métodos para encontrar el producto de 18 y 14. Luego, compara los valores obtenidos.

Calcula numéricamente.
Este es un rectángulo que mide 18 unidades por 14 unidades. Encuentra su área, en unidades cuadradas, descomponiéndolo. Muestra tu razonamiento.
Compara los valores de $18 \cdot 14$ que obtuviste al utilizar los dos métodos. Si no son iguales, revisa tu trabajo.
- Utiliza el applet para verificar tus respuestas y explorar tus propios escenarios. Para ajustar los valores, mueve los puntos en los extremos de los segmentos.

versión impresa

Utiliza los siguientes dos métodos para encontrar el producto de 18 y 14. Luego, compara los valores obtenidos.

Calcula numéricamente.
Este es un rectángulo que mide 18 unidades por 14 unidades. Encuentra su área, en unidades cuadradas, descomponiéndolo. Muestra tu razonamiento.
Compara los valores de $18 \cdot 14$ que obtuviste al utilizar los dos métodos. Si no son iguales, revisa tu trabajo.

Actividad 2: Relacionemos diagramas de área y cálculos con decimales

Problema 1

Puedes usar diagramas de área para representar productos de decimales. Este diagrama de área representa $(2.4) \cdot (1.3)$ .

Encuentra la región que representa $(0.4) \cdot (0.3)$ . Márcala con su área de 0.12.
Marca cada una de las otras regiones con sus respectivas áreas.
Encuentra el valor de $(2.4) \cdot (1.3)$ . Muestra tu razonamiento.

Problema 2

Estas son dos maneras de calcular $2.4 \times 1.3$ . Analiza los cálculos y discute estas preguntas con un compañero:

En el cálculo A, ¿de dónde vienen el 0.12 y otros productos parciales?
En el cálculo B, ¿de dónde vienen el 0.72 y el 2.4?
En cada cálculo, ¿por qué los números que están debajo de la línea horizontal están alineados verticalmente de esa manera?

Problema 3

Encuentra el producto de $(3.1) \cdot (1.5)$ dibujando y marcando un diagrama de área. Muestra tu razonamiento.
Muestra cómo calcular $(3.1) \cdot (1.5)$ usando números sin un diagrama. Prepárate para explicar tu razonamiento. Si tienes dificultades, utiliza los ejemplos de una pregunta anterior para que sea más fácil.
Utiliza el applet para verificar tus respuestas y explorar tus propios escenarios. Para ajustar los valores, mueve los puntos en los extremos de los segmentos.

versión impresa

Encuentra el producto de $(3.1) \cdot (1.5)$ dibujando y marcando un diagrama de área. Muestra tu razonamiento.
Muestra cómo calcular $(3.1) \cdot (1.5)$ usando números sin un diagrama. Prepárate para explicar tu razonamiento. Si tienes dificultades, utiliza los ejemplos de una pregunta anterior para que sea más fácil.

¿Estás listo para más?

¿Cuántas hectáreas mide el terreno de tu escuela? ¿Cuántos morgens es eso?

Actividad 3: Usemos el método de productos parciales

Problema 1

Marca el diagrama de área para representar $(2.5) \cdot (1.2)$ y para encontrar el producto.

Descompón cada número en sus unidades en base diez (unidades, décimas, etc.) y escríbelas en las casillas en cada lado del rectángulo.
Marca las regiones A, B, C y D con sus áreas. Muestra tu razonamiento.
Encuentra el producto que representa el diagrama de área. Muestra tu razonamiento.

Problema 2

Estas son dos formas de calcular $(2.5) \cdot (1.2)$ . Cada número con una casilla al lado nos da como resultado el área de una o más regiones en el diagrama de área.

En las casillas al lado de cada número, escribe las letras de las regiones correspondientes.
En el cálculo B, ¿qué números se están multiplicando para obtener 0.5? ¿Qué números se están multiplicando para obtener 2.5?

Resumen de la lección

Supongamos que queremos calcular el producto de dos números que están escritos en base diez. Para explicar cómo, podemos utilizar lo que sabemos sobre números en base diez y áreas de rectángulos.

Este es un diagrama de un rectángulo cuyos lados miden 3.4 unidades y 1.2 unidades. Su área en unidades cuadradas es el producto $(3.4) \cdot (1.2)$ . Para calcular este producto y encontrar el área del rectángulo, podemos descomponer cada longitud del lado en sus unidades en base diez, $3.4 = 3 + 0.4$ y $1.2 = 1 + 0.2$ , al descomponer el rectángulo en cuatro subrectángulos más pequeños.

Podemos reescribir el producto y expandirlo dos veces:

$\begin{aligned} (3.4) \cdot (1.2) & = (3 + 0.4) \cdot (1 + 0.2) \\ = (3 + 0.4) \cdot 1 + (3 + 0.4) \cdot 0.2 \\ = 3 \cdot 1 + 3 \cdot (0.2) + (0.4) \cdot 1 + (0.4) \cdot (0.2) \end{aligned}$

En la última expresión, cada uno de los cuatro términos se llama producto parcial. Cada producto parcial da como resultado el área de un subrectángulo en el diagrama. La suma de los cuatro productos parciales da como resultado el área del rectángulo completo.

Podemos mostrar los anteriores cálculos horizontales como dos cálculos verticales.

El cálculo vertical a la izquierda es un ejemplo del método de productos parciales. Muestra los valores de cada producto parcial y la letra del subrectángulo correspondiente. Cada producto parcial da como resultado un área:

A es 0.2 unidades por 0.4 unidades, entonces su área es 0.08 unidades cuadradas.
B es 3 unidades por 0.2 unidades, entonces su área es 0.6 unidades cuadradas.
C es 0.4 unidades por 1 unidad, entonces su área es 0.4 unidades cuadradas.
D es 3 unidades por 1 unidad, entonces su área es 3 unidades cuadradas.
La suma de los productos parciales es $0.08 + 0.6 + 0.4 + 3$ , entonces el área del rectángulo es 4.08 unidades cuadradas.

El cálculo a la derecha muestra los valores de dos productos. Cada valor da como resultado un área combinada de dos subrectángulos:

Las regiones combinadas de A y B tienen un área de 0.68 unidades cuadradas; 0.68 es el valor de $(3 + 0.4) \cdot 0.2$ .
Las regiones combinadas de C y D tienen un área de 3.4 unidades cuadradas; 3.4 es el valor de $(3 + 0.4) \cdot 1$ .
La suma de los valores de los dos productos es $0.68 + 3.4$ , entonces el área del rectángulo es 4.08 unidades cuadradas.