Lección 8Aumento y disminución porcentual con ecuaciones

Objetivo de aprendizaje

Utilicemos ecuaciones para representar aumentos y disminuciones.

Meta de aprendizaje

Puedo resolver problemas sobre aumento y disminución porcentual escribiendo una ecuación para representar la situación y resolviéndola.

Términos de la lección

aumento porcentual
disminución porcentual

Calentamiento: De 100 a 106

¿Cómo se pasa de un número al siguiente usando multiplicación o división?

De 100 a 106
De 100 a 90
De 90 a 100
De 106 a 100

Actividad 1: Interés y depreciación

El dinero en una determinada cuenta de ahorro aumenta después de un año aproximadamente un 6%. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta después de un año si la cantidad inicial es de $100, $50, $200, $125, $x$ dólares? Si tienes dificultades, considera utilizar diagramas o una tabla para organizar tu trabajo.
El costo de un automóvil nuevo disminuye aproximadamente un 15% en el primer año. ¿Cuánto costará un automóvil después de un año si su valor inicial fue de $1,000, $5,000, $5,020, $x$ dólares? Si tienes dificultades, considera utilizar diagramas o una tabla para organizar tu trabajo.

Actividad 2: Asociemos ecuaciones

Asocia una ecuación a cada una de estas situaciones. Prepárate para compartir tu razonamiento.

El nivel del agua en una represa en este momento es 52 metros. Si esto equivale a un aumento del 23%, ¿cuál era la profundidad inicial?
La nieve tiene en este momento 52 pulgadas de profundidad. Si esto equivale a una disminución del 77%, ¿cuál era la profundidad inicial?

$0.23 x = 52$
$0.77 x = 52$
$1.23 x = 52$
$1.77 x = 52$

¿Estás listo para más?

Una astronauta estaba explorando la luna de un planeta distante y encontró una sustancia viscosa y brillante en el fondo de un cráter muy profundo. Trajo una muestra de 10 gramos de la sustancia a su laboratorio. Allí descubrió que cuando la sustancia se exponía a la luz, la cantidad total de sustancia aumentaba en un 100% cada hora.

¿Cuánta sustancia viscosa tendrá la astronauta después de 1 hora? ¿Después de 2 horas? ¿Después de 3 horas? ¿Después de $n$ horas?
Cuando puso la sustancia viscosa de vuelta en la oscuridad, se contrajo un 75% cada hora. ¿Cuántas horas le tomará a la sustancia viscosa que estuvo expuesta a la luz durante $n$ horas volver a su tamaño original?

Actividad 3: Representación del aumento y la disminución porcentual: ecuaciones

Problema 1

Al tanque de gasolina del auto de papá le caben 12 galones. Al tanque de gasolina de la camioneta de mamá le cabe un 50% más que eso. ¿Cuánta gasolina almacena el tanque de la camioneta?

Explica por qué esta situación puede representarse con la ecuación $(1.5) \cdot 12 = t$ . Asegúrate de explicar lo que representa $t$ .

Problema 2

Escribe una ecuación para representar cada una de las siguientes situaciones.

Una sala de cine redujo el tamaño de sus bolsas de palomitas de maíz en un 20%. Si las bolsas viejas contenían 15 tazas de palomitas de maíz, ¿cuánto contienen las bolsas nuevas?
Después de un descuento del 25%, el precio de una camiseta es $12. ¿Cuál era el precio antes del descuento?
En comparación con el año pasado, la población de Boom Town ha aumentado en un 25%. La población ahora es de 6,600. ¿Cuál fue la población el año pasado?

Resumen de la lección

Podemos usar ecuaciones para expresar el aumento porcentual y la disminución porcentual. Por ejemplo, si $y$ es 15% más que $x$ ,

podemos representarlo usando cualquiera de estas ecuaciones:

$y = x + 0.15 x$

$y = (1 + 0.15) x$

$y = 1.15 x$

De esta forma, si alguien hace una inversión de $x$ dólares y su valor aumenta en un 15% a $1,250, entonces podemos escribir y resolver la ecuación $1.15 x = 1, 250$ para encontrar el valor de la inversión inicial.

Este es otro ejemplo: si $a$ es 7% menos que $b$ ,

podemos representarlo usando cualquiera de estas ecuaciones:

$a = b - 0.07 b$

$a = (1 - 0.07) b$

$a = 0.93 b$

Entonces, si la cantidad de agua en un tanque disminuyó un 7% desde su valor inicial de $b$ hasta su valor final de 348 galones, entonces podemos escribir $0.93 b = 348$ .

A menudo, una ecuación es la forma más eficiente de resolver un problema que involucra un aumento porcentual o una disminución porcentual.