Lección 8Triángulos semejantes

Objetivo de aprendizaje

Examinemos triángulos semejantes.

Meta de aprendizaje

  • Sé como decidir si dos triángulos son semejantes con solo mirar las medidas de sus ángulos.

Términos de la lección

  • semejanza

Calentamiento: Expresiones equivalentes

Problema 1

Escribe tres expresiones distintas que sean igual a 20. Cada expresión debe incluir solo estos tres números: , y .

Actividad 1: Hagamos ángulos y triángulos de pasta

El profesor te dará pasta seca y un conjunto de ángulos.

Problema 1

Crea un triángulo usando tres piezas de pasta y el ángulo . Tu triángulo tiene que incluir el ángulo que se te ha dado, pero por lo demás eres libre de hacer el triángulo que quieras. Pega con cinta tu triángulo de pasta a una hoja de papel para que no se mueva.

  1. Después de haber creado tu triángulo, mide la longitud de cada lado con una regla y escribe en la hoja la longitud junto a cada lado. Después, mide los ángulos aproximando al múltiplo de 5 grados más cercano usando un transportador y anota estas medidas en tu hoja.

  2. Encuentra a otros dos compañeros en el salón que tengan el mismo ángulo y compara tu triángulo con el de ellos.

  3. ¿Cómo decidiste si eran o no congruentes o semejantes?

Problema 2

Ahora usa más pasta y los ángulos , y para crear otro triángulo. Pega este triángulo de pasta con cinta en una hoja de papel diferente. 

  1. Después de haber creado tu triángulo, mide la longitud de cada lado con una regla y escribe en la hoja la longitud junto a cada lado. Después, mide los ángulos aproximando al múltiplo de 5 grados más cercano usando un transportador y anota estas medidas en tu hoja.

  2. Encuentra otros dos compañeros en el salón que hayan utilizado los mismos ángulos y compara tu triángulo con el de ellos. ¿En qué se parecen? ¿En qué se diferencian? ¿Son triángulos congruentes?, ¿son semejantes?

  3. ¿Cómo decidiste si eran o no congruentes o semejantes?

Problema 3

Este es el triángulo . Parte una nueva pieza de pasta que tenga una longitud diferente a la del segmento .

  • Pega la pieza de pasta con cinta de manera que quede encima del segmento de recta con un extremo de la pasta en (si no cabe en la hoja, pártela más). Marca el otro extremo de la pieza de pasta con .

  • Pega una pieza de pasta completa con cinta, con un extremo en , formando un ángulo congruente a .

  • Pega una pieza de pasta completa con cinta sobre el segmento de recta con un extremo de la pasta en . Llama al punto en el que se encuentran las dos piezas de pasta completas.

  1. ¿Tu nuevo triángulo de pasta es semejante a ? Explica tu razonamiento.

  2. ¿Si la pieza de pasta que partiste tuviera una longitud diferente, el triángulo de pasta todavía sería semejante a ? Explica tu razonamiento.

¿Estás listo para más?

Problema 1

Los cuadriláteros y tienen cuatro ángulos que miden , , y . ¿ y tienen que ser semejantes?

Actividad 2: Figuras semejantes en un pentágono regular

Este diagrama tiene varios triángulos que son semejantes al triángulo .

Problema 1

  1. Se usaron tres factores de escala diferentes para hacer los triángulos semejantes a . En el diagrama, encuentra al menos un triángulo de cada tamaño que sea semejante a .

  2. Explica cómo sabes que cada uno de estos tres triángulos es semejante a .

Problema 2

Encuentra un triángulo en el diagrama que no sea semejante a .

¿Estás listo para más?

Problema 1

Descubre cómo dibujar algunas rectas más en el diagrama del pentágono para hacer más triángulos semejantes a .

Resumen de la lección

Antes, aprendimos que dos polígonos son semejantes cuando existe una secuencia de traslaciones, rotaciones, reflexiones y dilataciones que llevan un polígono al otro. Cuando los polígonos son triángulos, solo debemos verificar que ambos triángulos tengan dos ángulos correspondientes que sean congruentes para mostrar que son semejantes, ¿puedes decir por qué?

Este es un ejemplo. Cada uno de los triángulos y tiene un ángulo de 30 grados y un ángulo de 45 grados.

Podemos trasladar a y después rotar para que los dos ángulos de 30 grados estén alineados, obteniendo este diagrama:

Ahora una dilatación con centro en y un factor de escala adecuado llevarán a . Esta dilatación también lleva a , mostrando así que los triángulos y son semejantes.