Lección 9Cocientes de longitudes de los lados de triángulos semejantes

Objetivo de aprendizaje

Encontremos las longitudes de los lados que faltan en triángulos.

Metas de aprendizaje

  • Puedo decidir si dos triángulos son semejantes examinando los cocientes de las longitudes de lados correspondientes.

  • Puedo encontrar las longitudes de los lados que faltan en un par de triángulos semejantes usando los cocientes de las longitudes de los lados.

Términos de la lección

  • semejanza

Calentamiento: Dos-tres-cuatro y cuatro-cinco-seis

Problema 1

Las longitudes de los lados del triángulo son 2, 3 y 4. Las longitudes de los lados del triángulo son 4, 5 y 6. ¿El triángulo es semejante al triángulo ?

Actividad 1: Cocientes de lados en triángulos semejantes

Problema 1

El profesor te asignará una de las tres columnas de la segunda tabla.

El triángulo es semejante a los triángulos , y . Los factores de escala de las dilataciones que muestran que el triángulo es semejante a cada triángulo están en la tabla.

  1. Encuentra las longitudes de los lados de los triángulos , y . Escríbelas en la tabla.

    triángulo

    factor de escala

    longitud del lado corto

    longitud del lado mediano

    longitud del lado largo

  2. El profesor te asignará una de las tres columnas. En los cuatro triángulos, encuentra el cociente de las longitudes de los lados que te asignaron y escríbelos en la tabla. ¿Qué observas en estos cocientes? 

    triángulo

    (lado largo) (lado corto)

    (lado largo) (lado mediano)

    (lado mediano) (lado corto)

    o 1.75

  3. Compara tus resultados con los de tus compañeros y completa la tabla.

¿Estás listo para más?

Problema 1

Los triángulos y son semejantes. Explica por qué .

Actividad 2: Usemos los cocientes de los lados para encontrar las longitudes de los lados de triángulos semejantes

Problema 1

Los triángulos , y son semejantes. Todas las longitudes de los lados de los triángulos tienen las mismas unidades. Encuentra las longitudes de los lados que son desconocidas.

Resumen de la lección

Si dos polígonos son semejantes, entonces las longitudes de los lados de un polígono se multiplican por el mismo factor de escala para obtener las longitudes de los lados correspondientes del otro polígono. Para estos triángulos el factor de escala es 2:

Esta es una tabla que muestra las relaciones entre la longitud de los lados corto y mediano del triángulo pequeño y del grande.

triángulo pequeño

triángulo grande

lado mediano

lado corto

(lado mediano) (lado corto)

Las longitudes del lado mediano y del lado corto tienen una razón de . Esto significa que el lado mediano de cada triángulo es tan largo como el lado corto.

Esto se cumple para todos los polígonos semejantes; la razón entre dos lados en un polígono es igual a la razón de los lados correspondientes de un polígono semejante.

Podemos usar estos hechos para calcular las longitudes que faltan en polígonos semejantes. Por ejemplo, los triángulos y que se muestran aquí son semejantes. Encontremos la longitud del segmento .

En el triángulo , el lado es el doble de largo que el lado , entonces esto debe cumplirse para cualquier triángulo que sea semejante al triángulo . Dado que tiene 1.2 unidades de largo y , la longitud del lado es 2.4 unidades.