Lección 2Cuadrícula circular

Objetivo de aprendizaje

Dilatemos figuras sobre cuadrículas circulares.

Meta de aprendizaje

Puedo aplicar dilataciones a figuras sobre una cuadrícula circular cuando el centro de dilatación es el centro de la cuadrícula.

Términos de la lección

centro de una dilatación
dilatación
factor de escala

Calentamiento: Observa y pregúntate: círculos concéntricos

¿Qué observas? ¿Qué te preguntas?

Actividad 1: Una gota en la superficie

Problema 1

El círculo grande $d$ es una dilatación del círculo pequeño $c$ . $P$ es el centro de dilatación.

Dibuja cuatro puntos sobre el círculo pequeño usando la herramienta “Punto sobre un objeto”.
Dibuja los rayos desde $P$ a través de cada uno de esos cuatro puntos. Elige la herramienta “Semirrecta”, luego el punto $P$ y luego el segundo punto.
Marca los puntos de intersección de los rayos y el círculo $d$ seleccionando la herramienta “Intersección” y haciendo clic sobre el punto de intersección.

versión impresa

El círculo grande $d$ es una dilatación del círculo pequeño $c$ . $P$ es el centro de dilatación.

Dibuja cuatro puntos sobre el círculo más pequeño (¡no dentro del círculo!) y etiquétalos $E$ , $F$ , $G$ y $H$ .
Dibuja los rayos desde $P$ que pasan por estos cuatro puntos.
Marca los puntos donde los rayos se encuentran con el círculo más grande. Etiquétalos con $E^{'}$ , $F^{'}$ , $G^{'}$ y $H^{'}$ .

Problema 2

Completa la tabla. En la fila etiquetada $c$ , escribe la distancia entre $P$ y el punto del círculo más pequeño, en unidades de la cuadrícula. En la fila etiquetada $d$ , escribe la distancia entre $P$ y el punto correspondiente en el círculo más grande, en unidades de la cuadrícula.

	$E$	$F$	$G$	$H$
$c$
$d$

Problema 3

El centro de dilatación es el punto $P$ . ¿Cuál es el factor de escala que lleva el círculo más pequeño al círculo más grande? Explica tu razonamiento.

Actividad 2: Cuadrilátero sobre una cuadrícula circular

Este es un polígono $A B C D$ .

- Dilata cada vértice del polígono $A B C D$ usando $P$ como centro de dilatación y un factor de escala 2.
- Dibuja segmentos entre los puntos dilatados para crear un nuevo polígono.
¿Qué cosas observas sobre el nuevo polígono?
Elige algunos puntos más en los lados del polígono original y transfórmalos usando la misma dilatación. ¿Qué observas?
Dilata cada vértice del polígono $A B C D$ usando $P$ como centro de dilatación y un factor de escala $\frac{1}{2}$ .
¿Qué observas sobre este nuevo polígono?

versión impresa

Este es un polígono $A B C D$ .

Dilata cada vértice del polígono $A B C D$ usando $P$ como centro de dilatación y un factor de escala 2. Etiqueta la imagen de $A$ con $A^{'}$ y etiqueta las imágenes de los tres vértices restantes con $B^{'}$ , $C^{'}$ y $D^{'}$ .
- Dibuja segmentos entre los puntos dilatados para crear el polígono $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ .
¿Qué cosas observas sobre el nuevo polígono?
Elige algunos puntos más en los lados del polígono original y transfórmalos usando la misma dilatación. ¿Qué observas?
Dilata cada vértice del polígono $A B C D$ usando $P$ como centro de dilatación y un factor de escala $\frac{1}{2}$ . Etiqueta la imagen de $A$ con $E$ , la imagen de $B$ con $F$ , la imagen de $C$ con $G$ y la imagen de $D$ con $H$ .
¿Qué observas sobre el polígono $E F G H$ ?

¿Estás listo para más?

Supongamos que $P$ es un punto que no está sobre el segmento de recta $\overset{―}{W X}$ . Llamemos $\overset{―}{Y Z}$ a la dilatación del segmento de recta $\overset{―}{W X}$ que usa $P$ como centro y tiene factor de escala 2. Experimenta con una cuadrícula circular para hacer predicciones acerca de si cada uno de los siguientes enunciados tiene que ser verdadero, puede ser verdadero o tiene que ser falso.

$\overset{―}{Y Z}$ es el doble de largo que $\overset{―}{W X}$ .
$\overset{―}{Y Z}$ mide cinco unidades más que $\overset{―}{W X}$ .
El punto $P$ está sobre $\overset{―}{Y Z}$ .
$\overset{―}{Y Z}$ y $\overset{―}{W X}$ se intersecan.

Actividad 3: Un cuadrilátero y círculos concéntricos

Dilata el polígono $E F G H$ usando $Q$ como centro de dilatación y un factor de escala $\frac{1}{3}$ . La imagen de $F$ ya se muestra en el diagrama. (Puede que tengas que dibujar más rayos que salgan de $Q$ para encontrar las imágenes de otros puntos).

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Resumen de la lección

Una cuadrícula circular como esta puede ser útil para realizar dilataciones.

El radio del círculo más pequeño mide una unidad y el radio de cada círculo sucesivo mide una unidad más que el anterior.

Para realizar una dilatación, necesitamos un centro de dilatación, un factor de escala y un punto para dilatar. En el diagrama, $P$ es el centro de dilatación. Con un factor de escala 2, cada punto queda sobre el mismo rayo desde $P$ , pero su distancia desde $P$ se duplica:

Como los círculos de la cuadrícula están a la misma distancia, el segmento $P A^{'}$ tiene el doble de la longitud del segmento $P A$ y lo mismo es cierto para los otros puntos.