Lección 11Escribamos ecuaciones de rectas

Objetivo de aprendizaje

Exploremos la relación entre los puntos sobre una recta y la pendiente de la recta.

Meta de aprendizaje

  • Puedo decidir si un punto está sobre una recta encontrando cocientes de distancias horizontales y verticales.

Términos de la lección

  • pendiente
  • semejanza

Calentamiento: Coordenadas y longitudes en el plano de coordenadas

Problema 1

Encuentra cada uno de los siguientes valores y explica tu razonamiento:

  1. La longitud del segmento .

  2. Las coordenadas de .

Actividad 1: Qué queremos decir con una ecuación de una recta

Problema 1

En el plano de coordenadas se muestra la recta .

  1. ¿Cuáles son las coordenadas de y ?

  2. ¿El punto está sobre la recta ? Explica cómo lo sabes.

  3. ¿El punto está sobre la recta ? Explica cómo lo sabes.

  4. ¿El punto está sobre la recta ? Explica cómo lo sabes.

  5. Supón que conoces las coordenadas y de un punto. Escribe una regla que te permitiría probar si el punto está sobre la recta .

Actividad 2: Escribamos relaciones a partir de triángulos de pendiente

Problema 1

Estos son dos diagramas:

  1. Completa cada diagrama para que todos los segmentos horizontales y verticales tengan expresiones que representen sus longitudes.

  2. Usa lo que sabes sobre triángulos semejantes para encontrar una ecuación para el cociente de las longitudes de los lados vertical y horizontal del en cada diagrama.

¿Estás listo para más?

Problema 1

  1. Encuentra el área de la región sombreada sumando las áreas de los triángulos sombreados.

  2. Encuentra el área de la región sombreada restando el área de la región no sombreada al triángulo grande.

  3. ¿Qué está pasando aquí?

Resumen de la lección

Estos son los puntos , y sobre la misma recta. Los triángulos y son triángulos de pendiente para la recta, así que sabemos que son triángulos semejantes. Usemos su semejanza para comprender mejor la relación entre y , que conforman las coordenadas del punto .

La pendiente para el triángulo es porque la longitud del lado vertical es 2 y la longitud del lado horizontal es 1. La pendiente que encontramos para el triángulo es porque la longitud del lado vertical es y la longitud del lado horizontal es . Estas dos pendientes deben ser iguales porque son de triángulos de pendiente de la misma recta, y por lo tanto:

Como , significa que el valor de es el doble del valor de , es decir que . ¡Esta ecuación es verdadera para cualquier punto sobre la recta!

Estos son dos triángulos de pendiente diferentes. Podemos usar el mismo razonamiento para describir la relación entre y para este punto .

La pendiente para el triángulo es porque la longitud del lado vertical es 2 y la longitud del lado horizontal es 1. Para el triángulo , la longitud del lado horizontal es . La longitud del lado vertical es porque la distancia desde hasta el eje es , pero el lado vertical del triángulo termina 1 unidad antes del eje . Entonces, la pendiente que encontramos para el triángulo es . Las pendientes para los dos triángulos son iguales, lo que significa que:

Como es el doble de , otra manera de escribir esta ecuación es . ¡Esta ecuación es verdadera para cualquier punto sobre la recta!