Lección 6Cambios de escala y áreas

Objetivo de aprendizaje

Construyamos figuras a escala e investiguemos sus áreas.

Meta de aprendizaje

Puedo describir cómo el área de una copia a escala se relaciona con el área de la figura original que se usó.

Términos de la lección

área
copia a escala
correspondiente
factor de escala
recíproco

Calentamiento: Cambiemos la escala de una ficha geométrica

Tu profesor te dará algunas fichas geométricas. Trabaja con tu grupo para construir las copias a escala descritas en cada pregunta.

Problema 1

Usa los applets para explorar las fichas geométricas. Trabaja con tu grupo para construir las copias a escala descritas en cada pregunta.

Cuántas fichas de rombo azul se necesitan para hacer una copia a escala de la figura A:

En la que cada lado tenga el doble del largo original.
En la que cada lado tenga 3 veces el largo original.
En la que cada lado tenga 4 veces el largo original.

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Cuántas fichas de rombo azul se necesitan para hacer una copia a escala de la figura A:

En la que cada lado tenga el doble del largo original.
En la que cada lado tenga 3 veces el largo original.
En la que cada lado tenga 4 veces el largo original.

Problema 2

Cuántas fichas de triángulo verde se necesitan para hacer una copia a escala de la figura B:

En la que cada lado tenga el doble del largo original.
En la que cada lado tenga 3 veces el largo original.
Si se usa un factor de escala de 4.

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Cuántas fichas de triángulo verde se necesitan para hacer una copia a escala de la figura B:

En la que cada lado tenga el doble del largo original.
En la que cada lado tenga 3 veces el largo original.
Si se usa un factor de escala de 4.

Problema 3

Cuántas fichas de trapecio rojo se necesitan para hacer una copia a escala de la figura C:

Si se usa un factor de escala de 2.
Si se usa un factor de escala de 3.
Si se usa un factor de escala de 4.

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Cuántas fichas de trapecio rojo se necesitan para hacer una copia a escala de la figura C:

Si se usa un factor de escala de 2.
Si se usa un factor de escala de 3.
Si se usa un factor de escala de 4.

Problema 4

Haz una predicción: ¿Cuántas fichas serían necesarias para construir copias a escala de estas figuras si se usa un factor de escala de 5? ¿Y si se usa un factor de escala de 6? Prepárate para explicar tu razonamiento.

Actividad 1: Cambiemos la escala de más fichas geométricas

Tu profesor le asignará una de estas figuras a tu grupo. Cada una está hecha con fichas del tamaño original.

Problema 1

Mueve el control deslizante del applet para ver una copia a escala de la figura que te fue asignada. Usa un factor de escala de 2. Usa las fichas de tamaño original para construir una figura que coincida con esa. ¿Cuántas fichas se necesitaron?

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Construye una copia a escala de la figura que te fue asignada usando un factor de escala de 2. Usa fichas geométricas con la misma forma que las de la figura original. ¿Cuántas fichas se necesitaron?

Problema 2

Tu compañero piensa que para construir cada copia a escala del problema anterior se necesitarán 4 fichas. ¿Estás de acuerdo o en desacuerdo? Explica tu razonamiento.

Problema 3

Empieza a construir una copia a escala de la figura que te fue asignada usando un factor de escala de 3. Detente cuando estés seguro de cuántas fichas se necesitarían. Escribe tu respuesta.

Problema 4

¿Cuántas fichas se necesitarían para construir copias a escala de tu figura usando como factores de escala 4, 5 y 6? Explica o muestra tu razonamiento.

Problema 5

¿En qué se parece el patrón de esta actividad al que observaste la actividad pasada? ¿En qué se diferencia?

¿Estás listo para más?

¿Cuántas fichas geométricas piensas que se necesitarían para construir una copia a escala de un hexágono amarillo en el que cada lado sea el doble de largo? ¿Y el triple de largo?
Descifra una manera de construir estas copias a escala.
¿Ves un patrón en el número de fichas que se usaron para construir estas copias a escala? Explica tu razonamiento.

Actividad 2: Área de paralelogramos y triángulos a escala

Problema 1

Tu profesor te dará una figura con medidas en centímetros. ¿Cuál es el área de la figura? ¿Cómo lo sabes?

Problema 2

Trabaja con tu compañero en dibujar copias a escala de la figura, usando cada uno de los factores de escala de la tabla. Completen la tabla con las medidas de las copias a escala.

factor de escala	base (cm)	altura (cm)	área (cm²)
$1$
$2$
$3$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}$

Problema 3

Comparen sus resultados con los de un grupo que haya trabajado con una figura diferente. ¿Qué es igual en sus respuestas? ¿Qué es diferente?

Problema 4

Si dibujaran copias a escala de la figura con los siguientes factores de escala, ¿cuáles serían sus áreas? Discutan su razonamiento. Si están en desacuerdo, trabajen para llegar a un acuerdo. Prepárense para explicar su razonamiento.

factor de escala	área (cm²)
$5$
$\frac{3}{5}$

Resumen de la lección

Redimensionar afecta las longitudes y las áreas de forma diferente. Cuando hacemos una copia a escala, todas las longitudes originales se multiplican por el factor de escala. Si hacemos una copia de un rectángulo cuyas longitudes de lado son 2 unidades y 4 unidades usando un factor de escala de 3, las longitudes de lado de la copia serán 6 unidades y 12 unidades, porque $2 \cdot 3 = 6$ y $4 \cdot 3 = 12$ .

Sin embargo, el área de la copia cambia por un factor de (factor de escala)². Si cada longitud de lado de la copia es 3 veces tan larga como la longitud de lado original, entonces el área de la copia será 9 veces el área del original, porque $3 \cdot 3$ , o $3^{2}$ , es igual a 9.

En este ejemplo, el área del rectángulo original es 8 unidades² y el área de la copia a escala es 72 unidades², porque $9 \cdot 8 = 72$ . Podemos ver que el rectángulo grande está cubierto por 9 copias del rectángulo pequeño, sin espacios ni superposiciones. También podemos verificar esto multiplicando los lados del rectángulo grande: $6 \cdot 12 = 72$ .

Las longitudes son unidimensionales, así que en una copia a escala, cambian según el factor de escala. El área es bidimensional, entonces cambia según el cuadrado del factor de escala. Podemos ver que esto es verdad en el caso de un rectángulo de longitud $l$ y ancho $w$ . Si redimensionamos el rectángulo por un factor de escala de $s$ , obtenemos un rectángulo de longitud $s \cdot l$ y ancho $s \cdot w$ . El área del rectángulo redimensionado es $A = (s \cdot l) \cdot (s \cdot w)$ , y así $A = (s^{2}) \cdot (l \cdot w)$ . El hecho de que el área se multiplique por el cuadrado del factor de escala también es cierto para copias a escala de otras figuras bidimensionales, no solo para los rectángulos.