Lección 3Potencias de potencias de 10

Objetivo de aprendizaje

Consideremos potencias de potencias de 10.

Meta de aprendizaje

Puedo explicar y usar una regla para elevar una potencia de 10 a una potencia.

Términos de la lección

base (de un exponente)

Calentamiento: El gran cubo

¿Cuál es el volumen de un cubo gigante en el que cada lado mide 10,000 km?

Actividad 1: Elevemos potencias de 10 a otras potencias

Problema 1

Completa la tabla para explorar patrones sobre los exponentes al elevar una potencia de 10 a otra potencia. Puedes omitir un solo elemento en la tabla, pero si lo haces, prepárate para explicar por qué lo hiciste.

expresión	expresión desarrollada	como una sola potencia de 10
${(10^{3})}^{2}$	$(10 \cdot 10 \cdot 10) (10 \cdot 10 \cdot 10)$	$10^{6}$
${(10^{2})}^{5}$	$(10 \cdot 10) (10 \cdot 10) (10 \cdot 10) (10 \cdot 10) (10 \cdot 10)$
	$(10 \cdot 10 \cdot 10) (10 \cdot 10 \cdot 10) (10 \cdot 10 \cdot 10) (10 \cdot 10 \cdot 10)$
${(10^{4})}^{2}$
${(10^{8})}^{11}$

Si decidiste omitir un elemento en la tabla, ¿cuál fue ese elemento?, ¿por qué ese elemento?

Problema 2

Usa los patrones que encontraste en la tabla para escribir ${(10^{m})}^{n}$ como una expresión equivalente usando un solo exponente, como $10^{}$ .

Problema 3

Si tuvieras la cantidad de aceite que se consumió en 2 meses en el año 2013 en todo el mundo, podrías hacer un cubo de aceite en el que cada lado mide $10^{3}$ metros. ¿Cuántos metros cúbicos de aceite son? ¿Crees que esto sería suficiente para llenar un estanque, un lago o un océano?

Actividad 2: ¿Cómo funcionan las reglas?

Andre y Elena quieren escribir $10^{2} \cdot 10^{2} \cdot 10^{2}$ usando un solo exponente.

Andre dice: “Cuando multiplicamos potencias que tienen la misma base, esto significa simplemente sumar los exponentes, es decir, $10^{2} \cdot 10^{2} \cdot 10^{2} = 10^{2 + 2 + 2} = 10^{6}$ ”.
Elena dice: “ $10^{2}$ se multiplica 3 veces por sí mismo, es decir, $10^{2} \cdot 10^{2} \cdot 10^{2} = {(10^{2})}^{3} = 10^{2 + 3} = 10^{5}$ ”.

¿Están de acuerdo con alguno de ellos? Expliquen su razonamiento.

¿Estás listo para más?

$2^{12} = 4, 096$ . ¿Cuántos otros números enteros podrías elevar a una potencia para obtener $4, 096$ ? Explica o muestra tu razonamiento.

Resumen de la lección

En esta lección desarrollamos una regla para elevar una potencia de 10 a otra potencia: tomar una potencia de 10 y elevarla a otra potencia es lo mismo que multiplicar los exponentes.

Veamos qué sucede cuando elevamos $10^{4}$ al exponente 3. ${(10^{4})}^{3} = 10^{4} \cdot 10^{4} \cdot 10^{4} = 10^{12}$

Esto funciona para cualquier potencia de potencias de 10. Por ejemplo, ${(10^{6})}^{11} = 10^{66}$ . Esta es otra regla que facilitará el trabajo y la comprensión de expresiones con exponentes.