Lección 8Combinemos bases

Objetivo de aprendizaje

Multipliquemos expresiones con bases distintas.

Meta de aprendizaje

Puedo usar y explicar una regla para multiplicar términos que tienen diferentes bases pero el mismo exponente.

Términos de la lección

base (de un exponente)
recíproco

Calentamiento: Bases distintas, mismo exponente

Problema 1

Calcula $5^{3} \cdot 2^{3}$ .

Problema 2

Calcula $10^{3}$ .

Actividad 1: Regla del producto para exponentes

Problema 1

La tabla muestra productos de expresiones con distintas bases y el mismo exponente. Completen la tabla para ver cómo podemos reescribirlas. Usen la columna “expresión desarrollada” para trabajar en cómo combinar los factores y obtener una nueva base.

expresión	expresión desarrollada	exponente
$5^{3} \cdot 2^{3}$	$\begin{aligned} (5 \cdot 5 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2) & = (2 \cdot 5) (2 \cdot 5) (2 \cdot 5) \\ = 10 \cdot 10 \cdot 10 \end{aligned}$	$10^{3}$
$3^{2} \cdot 7^{2}$		$21^{2}$
$2^{4} \cdot 3^{4}$
		$15^{3}$
		$30^{4}$
$2^{4} \cdot x^{4}$
$a^{n} \cdot b^{n}$
$7^{4} \cdot 2^{4} \cdot 5^{4}$

Problema 2

¿Pueden escribir $2^{3} \cdot 3^{4}$ usando un solo exponente? ¿Qué sucede si los exponentes no son iguales ni las bases tampoco? Expliquen o muestren su razonamiento.

Actividad 2: ¿De cuántas maneras podemos formar 3,600?

El profesor le dará a tu grupo herramientas para crear una representación visual con el fin de practicar un juego. Dividan la representación en 3 columnas con estos encabezados:

$a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}$

$\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n - m}$

$a^{n} \cdot b^{n} = {(a \cdot b)}^{n}$

Cómo jugar:

Cuando el tiempo comience, tu grupo debe escribir tantas expresiones como puedan, que sean equivalentes a un número específico, usando una de las reglas de exponentes que aparecen en el tablero. Cuando se acabe el tiempo, comparen sus expresiones con las de otro grupo para ver cuántos puntos ganan.

Tu grupo obtiene 1 punto por cada expresión distinta que escriban, que sea equivalente al número y que use la regla de exponentes elegida de manera correcta.
Si una expresión tiene exponentes negativos, tu grupo obtiene 2 puntos en lugar de solo 1.
Pueden retar las expresiones del otro grupo si piensan que realmente no son iguales al número dado, o si no siguen una de las tres reglas de exponentes.

¿Estás listo para más?

Posiblemente te has dado cuenta de que cuando elevas un número impar al cuadrado, obtienes otro número impar, y cuando elevas un número par al cuadrado, obtienes otro número par. Esta es una forma de desarrollar el concepto de par e impar para el número 3. Cada número entero es, o bien, divisible entre 3, uno MÁS que un múltiplo de 3 o uno MENOS que un múltiplo de 3.

Los siguientes son ejemplos de números que son uno más que un múltiplo de 3: 4, 7 y 25. Escribe tres ejemplos más.
Los siguientes son ejemplos de números que son uno menos que un múltiplo de 3: 2, 5 y 32. Escribe tres ejemplos más.
¿Podría ser verdad que al tomar un número que sea múltiplo de 3 y elevarlo al cuadrado, el resultado seguirá siendo un múltiplo de 3? ¿Qué sucede con las otras dos categorías? Intenta elevar algunos números al cuadrado para verificar tus conjeturas.

Resumen de la lección

En lecciones anteriores, propusimos reglas para multiplicar y dividir expresiones con exponentes, que solo funcionan cuando las expresiones tienen la misma base. Por ejemplo: $10^{3} \cdot 10^{2} = 10^{5}$ $o$ $2^{6} \div 2^{2} = 2^{4}$ En esta lección, estudiamos cómo combinar expresiones con el mismo exponente, pero con distintas bases. Por ejemplo, podemos escribir $2^{3} \cdot 5^{3}$ como $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ . Esto se agrupa nuevamente como $(2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5)$ , y muestra que:

$\begin{aligned} 2^{3} \cdot 5^{3} & = {(2 \cdot 5)}^{3} \\ = 10^{3} \end{aligned}$ En el ejemplo anterior, podemos observar que el 2 y el 5 podrían remplazarse por diferentes números o incluso variables. Por ejemplo, si $a$ y $b$ son variables, entonces $a^{3} \cdot b^{3} = {(a \cdot b)}^{3}$ . Más en general, dado un número positivo $n$ , $a^{n} \cdot b^{n} = {(a \cdot b)}^{n}$ dado que en ambos lados hay exactamente $n$ factores que son $a$ y $n$ factores que son $b$ .