Lección 7Practiquemos con bases racionales

Objetivo de aprendizaje

Practiquemos con exponentes.

Metas de aprendizaje

Puedo convertir una expresión que tenga un exponente negativo en una expresión equivalente que tenga un exponente positivo.
Puedo elegir una regla de exponentes apropiada para reescribir una expresión que tenga solo un exponente.

Términos de la lección

base (de un exponente)
recíproco

Calentamiento: Cuál es diferente: exponentes

¿Cuál expresión es diferente?

$\frac{2^{8}}{2^{5}}$
${(\frac{3}{4})}^{- 5} \cdot {(\frac{3}{4})}^{8}$
${(4^{- 5})}^{8}$
$\frac{10^{8}}{5^{5}}$

Actividad 1: Practiquemos reglas de exponentes

Problema 1

Elige 6 de las siguientes expresiones para escribirlas con un solo exponente:

$7^{5} \cdot 7^{6}$
$3^{- 3} \cdot 3^{8}$
$2^{- 4} \cdot 2^{- 3}$
${(\frac{5}{6})}^{4} {(\frac{5}{6})}^{5}$
$\frac{3^{5}}{3^{28}}$
$\frac{2^{- 5}}{2^{4}}$
$\frac{6^{5}}{6^{- 8}}$
$\frac{10^{- 12}}{10^{- 20}}$
${(7^{2})}^{3}$
${(4^{3})}^{- 3}$
${(2^{- 8})}^{- 4}$
${(6^{- 3})}^{5}$

Problema 2

¿Qué problemas quisiste omitir en la pregunta anterior? Explica las razones.

Problema 3

Elige 3 de las siguientes expresiones para escribirlas con un solo exponente positivo:

$2^{- 7}$
$3^{- 23}$
$11^{- 8}$
$4^{- 9}$
$2^{- 32}$
$8^{- 3}$

Problema 4

Elige 3 de las siguientes expresiones para evaluarlas:

$\frac{10^{5}}{10^{5}}$
${(\frac{2}{3})}^{3}$
$2^{8} \cdot 2^{- 8}$
${(\frac{5}{4})}^{2}$
${(3^{4})}^{0}$
${(\frac{7}{2})}^{2}$

Actividad 2: Bases inconsistentes

En cada caso, indica si la ecuación es verdadera o falsa. ¿Qué podrías cambiar en las ecuaciones falsas para volverlas verdaderas?

${(\frac{1}{3})}^{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{4} = {(\frac{1}{3})}^{6}$
$3^{2} \cdot 5^{3} = 15^{5}$
$5^{4} + 5^{5} = 5^{9}$
${(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 10^{3} = 5^{7}$
$3^{2} \cdot 5^{2} = 15^{2}$

¿Estás listo para más?

Resuelve la siguiente ecuación: $3^{x - 5} = 9^{x + 4}$ . Explica o muestra tu razonamiento.

Resumen de la lección

En las últimas lecciones, encontramos reglas para llevar más fácilmente la cuenta de factores repetidos al usar exponentes. También extendimos estas reglas para dar sentido a exponentes negativos como factores repetidos del recíproco de la base, así como para definir que un número elevado al exponente 0 tiene un valor igual a 1. Estas reglas se pueden escribir simbólicamente como:

$x^{n} \cdot x^{m} = x^{n + m},$ ${(x^{n})}^{m} = x^{n \cdot m},$ $x^{- n} = \frac{1}{x^{n}},$ y $x^{0} = 1,$ en donde la base $x$ puede ser cualquier número positivo. En esta lección, practicamos cómo usar esas reglas de exponentes con distintas bases y exponentes.