Lección 5Exponentes negativos con potencias de 10

Objetivo de aprendizaje

Veamos qué sucede cuando los exponentes son negativos.

Metas de aprendizaje

Entiendo qué significa cuando 10 se eleva a un exponente negativo.
Puedo usar las reglas de exponentes con exponentes negativos.

Términos de la lección

base (de un exponente)

Calentamiento: Conversación numérica: ¿cuál es ese exponente?

Resuelve mentalmente cada ecuación.

$\frac{100}{1} = 10^{x}$
$\frac{100}{x} = 10^{1}$
$\frac{x}{100} = 10^{0}$
$\frac{100}{1, 000} = 10^{x}$

Actividad 1: Tabla de exponentes negativos

Completa la tabla para explorar qué significan los exponentes negativos.
Cuando te mueves hacia la izquierda, cada número se multiplica por 10. ¿Cuál es el multiplicador cuando te mueves hacia la derecha?
¿Cómo cambia un multiplicador de 10 la ubicación del punto decimal en el producto? ¿Cómo cambia el otro multiplicador la ubicación del punto decimal en el producto?
Usa los patrones que encontraste en la tabla para escribir $10^{- 7}$ como una fracción.
Usa los patrones que encontraste en la tabla para escribir $10^{- 5}$ como un decimal.
Escribe $\frac{1}{100, 000, 000}$ usando un solo exponente.
Usa los patrones que encontraste en la tabla para escribir $10^{- n}$ como una fracción.

Actividad 2: Sigamos las reglas de exponentes

Problema 1

Emparejen las expresiones que describan la multiplicación repetida de la misma manera:
1. ${(10^{2})}^{3}$
2. ${(10^{2})}^{- 3}$
3. ${(10^{- 2})}^{3}$
4. ${(10^{- 2})}^{- 3}$
1. $\frac{1}{(10 \cdot 10)} \cdot \frac{1}{(10 \cdot 10)} \cdot \frac{1}{(10 \cdot 10)}$
2. $(\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10}) (\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10}) (\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10})$
3. $\frac{1}{\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10}}$
4. $(10 \cdot 10) (10 \cdot 10) (10 \cdot 10)$
Escriban ${(10^{2})}^{- 3}$ como una potencia de 10 usando un solo exponente. Prepárense para explicar su razonamiento.

Problema 2

Emparejen las expresiones que describan la multiplicación repetida de la misma manera:
1. $\frac{10^{2}}{10^{5}}$
2. $\frac{10^{2}}{10^{- 5}}$
3. $\frac{10^{- 2}}{10^{5}}$
4. $\frac{10^{- 2}}{10^{- 5}}$
1. $\frac{\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10}}{\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10}}$
2. $\frac{10 \cdot 10}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}$
3. $\frac{\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10}}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}$
4. $\frac{10 \cdot 10}{\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10}}$
Escriban $\frac{10^{- 2}}{10^{- 5}}$ como una potencia de 10 usando un solo exponente. Prepárense para explicar su razonamiento.

Problema 3

Emparejen las expresiones que describan la multiplicación repetida de la misma manera:
1. $10^{4} \cdot 10^{3}$
2. $10^{4} \cdot 10^{- 3}$
3. $10^{- 4} \cdot 10^{3}$
4. $10^{- 4} \cdot 10^{- 3}$
1. $(10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10) \cdot (\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10})$
2. $(\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10}) \cdot (\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10})$
3. $(\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10}) \cdot (10 \cdot 10 \cdot 10)$
4. $(10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10) \cdot (10 \cdot 10 \cdot 10)$
Escriban $10^{- 4} \cdot 10^{3}$ como una potencia de 10 usando un solo exponente. Prepárense para explicar su razonamiento.

¿Estás listo para más?

Priya, Jada, Han y Diego se paran en un círculo y juegan por turnos.

Priya dice “SEGURO”. Jada, quien está a la izquierda de Priya, dice “FUERA”, y abandona el círculo. Han es el siguiente que dice “SEGURO”. Luego, Diego dice “FUERA”, y abandona el círculo. En ese momento, solo quedan Priya y Han. Ellos continúan jugando. Priya dice “SEGURO”. Han dice “FUERA”, y abandona el círculo. Priya es la única persona que queda, por lo que ella es la ganadora.

Priya dice: “Sabía que solo yo quedaría, porque yo comencé”.

Registra este juego en una hoja unas cuantas veces con distintos números de jugadores. ¿La persona que comienza siempre gana?
Intenta encontrar tantos números de jugadores como puedas en los que siempre gane la persona que comienza. ¿Qué patrones observas?

Resumen de la lección

Cuando multiplicamos una potencia positiva de 10 por $\frac{1}{10}$ , el exponente disminuye en 1: $10^{8} \cdot \frac{1}{10} = 10^{7}$ Esto es verdadero para cualquier potencia de 10. Podemos usar el mismo razonamiento para ver que multiplicar por 2 factores que son $\frac{1}{10}$ hace que el exponente disminuya en 2: ${(\frac{1}{10})}^{2} \cdot 10^{8} = 10^{6}$

Esto significa que podemos extender las reglas para usar exponentes negativos, por ejemplo, $10^{- 2} = {(\frac{1}{10})}^{2}$ . Así como $10^{2}$ son dos factores que son 10, tenemos que $10^{- 2}$ son dos factores que son $\frac{1}{10}$ . En general, las reglas de exponentes que hemos desarrollado son verdaderas para cualquier entero $n$ y $m$ , es decir, $10^{- n} = {(\frac{1}{10})}^{n} = \frac{1}{10^{n}}$

Este es un ejemplo que muestra cómo extendemos la regla $\frac{10^{n}}{10^{m}} = 10^{n - m}$ para usar exponentes negativos: $\frac{10^{3}}{10^{5}} = 10^{3 - 5} = 10^{- 2}$ Para ver por qué, observa que $\frac{10^{3}}{10^{5}} = \frac{10^{3}}{10^{3} \cdot 10^{2}} = \frac{10^{3}}{10^{3}} \cdot \frac{1}{10^{2}} = \frac{1}{10^{2}}$ que es igual a $10^{- 2}$ .

Este es un ejemplo que muestra cómo extendemos la regla ${(10^{m})}^{n} = 10^{m \cdot n}$ para usar exponentes negativos: ${(10^{- 2})}^{3} = 10^{(- 2) (3)} = 10^{- 6}$ Para ver por qué, observa que: $10^{- 2} = \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10}$ . Esto significa que: ${(10^{- 2})}^{3} = {(\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10})}^{3} = (\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10}) \cdot (\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10}) \cdot (\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10}) = \frac{1}{10^{6}} = 10^{- 6}$