Lección 6¿Qué sucede con otras bases?

Objetivo de aprendizaje

Exploremos patrones de exponentes con bases distintas de 10.

Meta de aprendizaje

Puedo usar reglas de exponentes para bases distintas de 10.

Términos de la lección

base (de un exponente)

Calentamiento: Verdadero o falso: comparemos expresiones con exponentes

En cada caso, decide si la afirmación es verdadera o falsa. Prepárate para explicar tu razonamiento.

$3^{5} < 4^{6}$
${(- 3)}^{2} < 3^{2}$
${(- 3)}^{3} = 3^{3}$
${(- 5)}^{2} > - 5^{2}$

Actividad 1: ¿Qué sucede con un exponente negativo o igual a cero?

Completa la tabla para mostrar lo que significa tener un exponente igual a cero o un exponente negativo.
A medida que te mueves hacia la izquierda, cada número se multiplica por 2. ¿Cuál es el multiplicador cuando te mueves hacia la derecha?
Usa los patrones que encontraste en la tabla para escribir $2^{- 6}$ como una fracción.
Escribe $\frac{1}{32}$ como una potencia de 2 usando un solo exponente.
¿Cuál es el valor de $2^{0}$ ?
A partir del trabajo que haz hecho con exponente negativos, ¿cómo escribirías $5^{- 3}$ como una fracción?
¿Cómo escribirías $3^{- 4}$ como una fracción?

¿Estás listo para más?

Problema 1

Encuentra una expresión equivalente a ${(\frac{2}{3})}^{- 3}$ , pero usando exponentes positivos.

Problema 2

Encuentra una expresión equivalente a ${(\frac{4}{5})}^{- 8}$ , pero usando exponentes positivos.

Problema 3

¿Qué patrones observas cuando comienzas con una fracción elevada a un exponente negativo y lo vuelves a escribir usando solo potencias positivas? Muestra o explica tu razonamiento.

Actividad 2: Reglas de exponentes con bases distintas de 10

Lin, Noah, Diego y Elena deciden poner a prueba sus conocimientos sobre exponentes con bases distintas de 10. Para comenzar, cada uno eligió una expresión y luego pensó en una nueva lista de expresiones; algunas son equivalentes a la expresión inicial y otras no.

Seleccionen 2 de las 4 listas para analizar. Para cada lista de expresiones que eligieron, decidan qué expresiones no son equivalentes a la inicial. Prepárense para explicar su razonamiento.

La expresión inicial de Lin es $5^{- 9}$ y su lista es:
- ${(5^{3})}^{- 3}$
- $- 5^{9}$
- $\frac{5^{- 6}}{5^{3}}$
- ${(5^{3})}^{- 2}$
- $\frac{5^{- 4}}{5^{- 5}}$
- $5^{- 4} \cdot 5^{- 5}$
La expresión inicial de Noah es $3^{10}$ y su lista es:
- $3^{5} \cdot 3^{2}$
- ${(3^{5})}^{2}$
- $(3 \cdot 3) (3 \cdot 3) (3 \cdot 3) (3 \cdot 3) (3 \cdot 3)$
- ${(\frac{1}{3})}^{- 10}$
- $3^{7} \cdot 3^{3}$
- $\frac{3^{20}}{3^{10}}$
- $\frac{3^{20}}{3^{2}}$
La expresión inicial de Diego es $x^{4}$ y su lista es:
- $\frac{x^{8}}{x^{4}}$
- $x \cdot x \cdot x \cdot x$
- $\frac{x^{- 4}}{x^{- 8}}$
- $\frac{x^{- 4}}{x^{8}}$
- ${(x^{2})}^{2}$
- $4 \cdot x$
- $x \cdot x^{3}$
La expresión inicial de Elena es $8^{0}$ y su lista es:
- 1
- 0
- $8^{3} \cdot 8^{- 3}$
- $\frac{8^{2}}{8^{2}}$
- $10^{0}$
- $11^{0}$

Resumen de la lección

Anteriormente, nos enfocamos en potencias de 10, ya que 10 juega un papel importante en el sistema numérico decimal. Las reglas de exponentes que desarrollamos para 10 también funcionan para otras bases. Por ejemplo, si $2^{0} = 1$ y $2^{- n} = \frac{1}{2^{n}}$ , entonces:

$\begin{aligned} 2^{m} \cdot 2^{n} & = 2^{m + n} \\ {(2^{m})}^{n} & = 2^{m \cdot n} \\ \frac{2^{m}}{2^{n}} & = 2^{m - n} . \end{aligned}$

Estas reglas también funcionan para potencias de números menores que 1. Por ejemplo, ${(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ y ${(\frac{1}{3})}^{4} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ . Podemos comprobar también que ${(\frac{1}{3})}^{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{4} = {(\frac{1}{3})}^{2 + 4}$ .

Usemos una variable $x$ que nos ayude a ver esa estructura. Como $x^{2} \cdot x^{5} = x^{7}$ (ambos lados tienen 7 factores que son $x$ ), si elegimos el valor $x = 4$ , podemos observar que $4^{2} \cdot 4^{5} = 4^{7}$ . De la misma manera, podemos elegir $x = \frac{2}{3}$ o $x = 11$ o cualquier otro valor positivo, y mostrar que esas relaciones todavía se mantienen.