Lección 10Dividamos entre fracciones unitarias y no unitarias

Objetivo de aprendizaje

Busquemos patrones al dividir entre una fracción.

Metas de aprendizaje

Puedo dividir un número entre una fracción no unitaria $\frac{a}{b}$ , al razonar con el numerador y el denominador, los cuales son números enteros.
Puedo dividir un número entre una fracción unitaria $\frac{1}{b}$ al razonar con el denominador, que es un número entero.

Términos de la lección

recíproco

Calentamiento: Dividamos entre un número entero

Trabaja con un compañero. Una persona debe resolver los problemas etiquetados “Compañero A” y la otra aquellos etiquetados “Compañero B”. Escribe una ecuación para cada pregunta. Si tienes dificultades, dibuja un diagrama.
Compañero A:
¿Cuántos 3 hay en 12?
Ecuación de división:
¿Cuántos 4 hay en 12?
Ecuación de división:
¿Cuántos 6 hay en 12?
Ecuación de división:
Compañero B:
¿Cuánto es 12 grupos de $\frac{1}{3}$ ?
Ecuación de multiplicación:
¿Cuánto es 12 grupos de $\frac{1}{4}$ ?
Ecuación de multiplicación:
¿Cuánto es 12 grupos de $\frac{1}{6}$ ?
Ecuación de multiplicación:
¿Qué observas en los diagramas y las ecuaciones? Discútelo con tu compañero.
Basado en tus observaciones completa esta frase:
Dividir entre un número entero $a$ produce el mismo resultado que multiplicar por .

Actividad 1: Dividamos entre fracciones unitarias

Para encontrar el valor de $6 \div \frac{1}{2}$ , Elena pensó: “¿Cuántos $\frac{1}{2}$ hay en 6?”, y luego dibujó este diagrama de cinta. Este muestra 6 unidades, cada una dividida en 2 pedazos iguales.

$6 \div \frac{1}{2}$

Problema 1

Para cada expresión de división, completa el diagrama usando el mismo método de Elena. Luego, encuentra el valor de la expresión.

$6 \div \frac{1}{3}$
Valor de la expresión:
$6 \div \frac{1}{4}$
Valor de la expresión:
$6 \div \frac{1}{6}$
Valor de la expresión:

versión impresa

Para cada expresión de división, completa el diagrama usando el mismo método de Elena. Luego, encuentra el valor de la expresión.

$6 \div \frac{1}{3}$
Valor de la expresión:
$6 \div \frac{1}{4}$
Valor de la expresión:
$6 \div \frac{1}{6}$
Valor de la expresión:

Problema 2

Analiza las expresiones y tus respuestas más de cerca. Busca un patrón. ¿Cómo podrías encontrar cuántos medios ( $\frac{1}{2}$ ), tercios ( $\frac{1}{3}$ ), cuartos ( $\frac{1}{4}$ ) o sextos ( $\frac{1}{6}$ ) hay en 6 sin contar en cada caso? Explica tu razonamiento.

Problema 3

Usa el patrón que identificaste para encontrar los valores de estas expresiones. Si tienes dificultades, puedes dibujar un diagrama.

$6 \div \frac{1}{8}$
$6 \div \frac{1}{10}$
$6 \div \frac{1}{25}$
$6 \div \frac{1}{b}$

Problema 4

Encuentra el valor de cada expresión.

$8 \div \frac{1}{4}$
$12 \div \frac{1}{5}$
$a \div \frac{1}{2}$
$a \div \frac{1}{b}$

Actividad 2: Dividamos entre fracciones no unitarias

Problema 1

Para encontrar el valor de $6 \div \frac{2}{3}$ , Elena comenzó por dibujar un diagrama de la misma manera que lo hizo para $6 \div \frac{1}{3}$ .

Completa el diagrama para mostrar cuántos $\frac{2}{3}$ hay en 6.
Ella dice: “Para encontrar $6 \div \frac{2}{3}$ , puedo simplemente tomar el valor de $6 \div \frac{1}{3}$ y después multiplicarlo por $\frac{1}{2}$ o dividirlo entre 2”. ¿Estás de acuerdo con ella? Explica tu razonamiento.

Problema 2

Para cada expresión de división, completa el diagrama usando el mismo método de Elena. Después, encuentra el valor de la expresión. Piensa en cómo podrías encontrar ese valor sin contar todos los pedazos de tu diagrama.

$6 \div \frac{3}{4}$
Valor de la expresión:
$6 \div \frac{4}{3}$
Valor de la expresión:
$6 \div \frac{4}{6}$
Valor de la expresión:

Problema 3

Elena analizó sus diagramas y observó que siempre hacía los mismos dos pasos para mostrar la división entre una fracción en un diagrama de cinta. Ella dijo:

“Mi primer paso fue dividir cada unidad del diagrama en tantas partes como las que representa el número en el denominador. Es decir, si la expresión es $6 \div \frac{3}{4}$ , parto cada unidad del diagrama en 4 pedazos. Ahora el número de pedazos que tengo es 4 veces el número de unidades.

Mi segundo paso fue poner cierto número de esos pedazos en un grupo, y ese número es el numerador del divisor. Es decir, si la fracción es $\frac{3}{4}$ , pongo cada 3 de los $\frac{1}{4}$ en un grupo. En ese momento puedo decir cuántos $\frac{3}{4}$ hay en 6”.

¿Qué expresión representa cuántos $\frac{3}{4}$ tendría Elena después de estos dos pasos? Prepárate para explicar tu razonamiento.

$6 \div 4 \cdot 3$
$6 \div 4 \div 3$
$6 \cdot 4 \div 3$
$6 \cdot 4 \cdot 3$

Problema 4

Usa el patrón que Elena identificó para encontrar los valores de estas expresiones. Si tienes dificultades, puedes dibujar un diagrama.

$6 \div \frac{2}{7}$
$6 \div \frac{3}{10}$
$6 \div \frac{6}{25}$

¿Estás listo para más?

Encuentra el valor desconocido.

Resumen de la lección

Para contestar a la pregunta “¿Cuántos $\frac{1}{3}$ hay en 4?” o “¿Cuánto es $4 \div \frac{1}{3}$ ?”, podemos pensar que hay 3 tercios en 1, así que hay $(4 \cdot 3)$ tercios en 4.

En otras palabras, dividir 4 entre $\frac{1}{3}$ da el mismo resultado que multiplicar 4 por 3.

$4 \div \frac{1}{3} = 4 \cdot 3$

En general, dividir un número entre una fracción unitaria $\frac{1}{b}$ es lo mismo que multiplicar el número por $b$ , que es el recíproco de $\frac{1}{b}$ .

¿Cómo podemos razonar sobre $4 \div \frac{2}{3}$ ?

Ya sabemos que hay $(4 \cdot 3)$ o 12 grupos de $\frac{1}{3}$ en 4. Para encontrar cuántos $\frac{2}{3}$ hay en 4, necesitamos unir cada 2 de la fracción $\frac{1}{3}$ en un grupo. Hacer esto da como resultado la mitad de los grupos, que es 6 grupos. En otras palabras:

$4 \div \frac{2}{3} = (4 \cdot 3) \div 2$

$4 \div \frac{2}{3} = (4 \cdot 3) \cdot \frac{1}{2}$

En general, dividir un número entre $\frac{a}{b}$ es lo mismo que multiplicar el número por $b$ y después dividir entre $a$ ; o multiplicar el número por $b$ y después por $\frac{1}{a}$ .