Lección 14Triángulos y prismas con longitudes fraccionarias

Objetivo de aprendizaje

Exploremos el área y el volumen cuando hay fracciones involucradas.

Metas de aprendizaje

Puedo explicar cómo encontrar el volumen de un prisma rectangular usando cubos cuyas longitudes de arista son una fracción unitaria.
Puedo usar división y multiplicación para resolver problemas que involucran áreas de triángulos con bases y alturas fraccionarias.
Sé cómo hallar el volumen de un prisma rectangular aun cuando las longitudes de las aristas no son números enteros.

Calentamiento: Área del triángulo

Encuentra el área del triángulo A en centímetros cuadrados. Muestra tu razonamiento.

Actividad 1: Bases y alturas de triángulos

Problema 1

El área del triángulo B es 8 unidades cuadradas. Encuentra la longitud de $b$ . Muestra tu razonamiento.

Problema 2

El área del triángulo C es $\frac{54}{5}$ unidades cuadradas. ¿Cuál es la longitud de $h$ ? Muestra tu razonamiento.

Actividad 2: Volúmenes de cubos y prismas

Problema 1

Usa los cubos o el applet como ayuda para responder las siguientes preguntas.

Este es un dibujo de un cubo con una longitud de arista de 1 pulgada.

¿Cuántos cubos con una longitud de arista de $\frac{1}{2}$ pulgada se necesitan para llenar este cubo?
¿Cuál es el volumen, en pulgadas cúbicas, de un cubo con una longitud de arista de $\frac{1}{2}$ pulgada? Explica o muestra tu razonamiento.

versión impresa

Tu profesor te entregará cubos que tienen una longitud de arista de $\frac{1}{2}$ pulgada.

Este es un dibujo de un cubo con una longitud de arista de 1 pulgada.

¿Cuántos cubos con una longitud de arista de $\frac{1}{2}$ pulgada se necesitan para llenar este cubo?
¿Cuál es el volumen, en pulgadas cúbicas, de un cubo con una longitud de arista de $\frac{1}{2}$ pulgada? Explica o muestra tu razonamiento.

Problema 2

Cuatro cubos están apilados en una sola torre para formar un prisma. Cada cubo tiene una longitud de arista de $\frac{1}{2}$ pulgada. Dibuja el prisma y encuentra su volumen en pulgadas cúbicas.

Problema 3

Usa cubos con una longitud de arista de $\frac{1}{2}$ pulgada para construir prismas con los largos, anchos y alturas que se muestran en la tabla.

Para cada prisma, escribe en la tabla cuántos cubos de $\frac{1}{2}$ pulgada caben en el prisma y el volumen del prisma.
largo del prisma (in)
ancho del prisma (in)
altura del prisma (in)
número de cubos de $\frac{1}{2}$ pulgada dentro del prisma
volumen del prisma (in $^{3}$ )
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}$
$1$
$1$
$\frac{1}{2}$
$2$
$1$
$\frac{1}{2}$
$2$
$2$
$1$
$4$
$2$
$\frac{3}{2}$
$5$
$4$
$2$
$5$
$4$
$2 \frac{1}{2}$
Analiza los valores de la tabla. ¿Qué notas sobre la relación entre las longitudes de las aristas de cada prisma y su volumen?

largo del prisma (in)	ancho del prisma (in)	altura del prisma (in)
$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
$1$	$1$	$\frac{1}{2}$
$2$	$1$	$\frac{1}{2}$
$2$	$2$	$1$
$4$	$2$	$\frac{3}{2}$
$5$	$4$	$2$
$5$	$4$	$2 \frac{1}{2}$

Problema 4

¿Cuál es el volumen de un prisma rectangular de $1 \frac{1}{2}$ pulgada por $2 \frac{1}{4}$ pulgadas por 4 pulgadas? Muestra tu razonamiento.

¿Estás listo para más?

Una fracción unitaria tiene un 1 en el numerador. Estas son fracciones unitarias: $\frac{1}{3}, \frac{1}{100}, \frac{1}{1}$ . Estas no son fracciones unitarias: $\frac{2}{9}, \frac{8}{1}, 2 \frac{1}{5}$ .

Encuentra tres fracciones unitarias cuya suma sea $\frac{1}{2}$ . Por ejemplo: $\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ ¿Cuántos ejemplos como este puedes encontrar?
Encuentra una caja cuya área de superficie en unidades cuadradas sea igual a su volumen en unidades cúbicas. ¿Cuántas así puedes encontrar?

Resumen de la lección

Si un prisma rectangular tiene longitudes de arista de 2 unidades, 3 unidades y 5 unidades, podemos imaginarlo como 2 capas de cubos unitarios, donde cada capa tiene $(3 \cdot 5)$ cubos unitarios. Así que el volumen, en unidades cúbicas, es: $2 \cdot 3 \cdot 5$

Para encontrar el volumen de un prisma rectangular con longitudes de arista fraccionarias, podemos imaginarlo como si estuviera formado por cubos que tienen una fracción unitaria como longitud de arista. Por ejemplo, si construimos un prisma de $\frac{1}{2}$ pulgada de altura, $\frac{3}{2}$ pulgadas de ancho y 4 pulgadas de largo usando cubos con longitud de arista de $\frac{1}{2}$ pulgada, tendríamos:

Una altura de 1 cubo, ya que $1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
Un ancho de 3 cubos, ya que $3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
Un largo de 8 cubos, ya que $8 \cdot \frac{1}{2} = 4$

El volumen del prisma sería $1 \cdot 3 \cdot 8$ o 24 unidades cúbicas. ¿Cómo encontramos su volumen en pulgadas cúbicas?

Sabemos que cada cubo con una longitud de arista de $\frac{1}{2}$ pulgada tiene un volumen de $\frac{1}{8}$ pulgadas cúbica, ya que $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ . Como el prisma se construyó usando 24 de estos cubos, su volumen, en pulgadas cúbicas, sería $24 \cdot \frac{1}{8}$ o 3 pulgadas cúbicas.

El volumen del prisma, en pulgadas cúbicas, también se puede encontrar multiplicando las longitudes de arista fraccionarias en pulgadas: $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot 4 = 3$