Lección 12Volumen de prismas rectos

Objetivo de aprendizaje

Estudiemos volúmenes de prismas.

Meta de aprendizaje

  • Puedo explicar por qué el volumen de un prisma se puede determinar multiplicando el área de su base y su altura.

Términos de la lección

  • base (de un prisma o pirámide)
  • pirámide
  • prisma
  • volumen

Calentamiento: Tres prismas con el mismo volumen

Problema 1

Los rectángulos A, B y C representan las bases de tres prismas.

  1. Si cada prisma tiene la misma altura, ¿cuál tendrá el mayor volumen y cuál tendrá el menor? Explica tu razonamiento.

  2. Si cada prisma tiene el mismo volumen, ¿cuál tendrá la mayor altura y cuál la menor? Explica tu razonamiento.

Actividad 1: Calculemos el volumen con cubos

Problema 1

Este applet tiene 64 cubos encajables, todos ubicados en el mismo lugar sobre la pantalla, como una pila de bloques escondidos. Siempre sabrán dónde está la pila porque está sobre el cuadrado gris. Pueden sacar tantos bloques como quieran de la pila, arrastrándolos por sus puntos rojos, hasta que tengan suficientes para construir lo que desean.

Hagan clic sobre los puntos rojos para cambiar entre movimientos de izquierda/derecha a movimientos de arriba/abajo.

También hay una figura sobre la cuadrícula. Esta marca la huella de las figuras a medida que las construyen.

  1. Usen la cara de un cubo encajable como la unidad de área, ¿cuál es el área de la figura? Expliquen su razonamiento.

  2. Usen los cubos encajables para construir la figura en el papel. Añadan otra capa de cubos sobre la figura que construyeron. Describan este objeto de tres dimensiones.

  3. ¿Cuál es el volumen del objeto? Expliquen su razonamiento.

  4. En este momento el objeto tiene una altura de 2. Halla el volumen si el objeto tuviera una altura de 5.

  5. Halla el volumen si el objeto tuviera una altura de 8.5.

versión impresa

El profesor les entregará una hoja que muestra una figura y algunos cubos encajables.

  1. Usen la cara de un cubo encajable como la unidad de área, ¿cuál es el área de la figura? Expliquen su razonamiento.

  2. Usen los cubos encajables para construir la figura en el papel. Añadan otra capa de cubos sobre la figura que construyeron. Describan este objeto de tres dimensiones.

  3. ¿Cuál es el volumen del objeto? Expliquen su razonamiento.

  4. En este momento el objeto tiene una altura de 2. Halla el volumen si el objeto tuviera una altura de 5.

  5. Halla el volumen si el objeto tuviera una altura de 8.5.

Actividad 2: ¿Puedes calcular el volumen?

Problema 1

El applet tiene una colección de figuras tridimensionales. 

  • Elige una figura usando el control deslizante.

  • Rota la vista usando la herramienta Rotación de gráficos 3D, marcada con dos flechas curvas que se intersecan.

  • Observa que cada poliedro tiene solo una etiqueta por cada cara. Si no se indican medidas, las caras son copias idénticas.

  • Usa la herramienta de distancia, marcada con “cm”, para hacer clic sobre cualquier segmento y encontrar su altura o longitud.

  • Consejo relacionado con problemas técnicos: el cursor debe estar en la ventana de Gráficos 3D para que aparezca la barra de herramientas completa.

  1. Determinen si cada figura es un prisma.

  2. Para cada prisma:

    • Encuentren el área de la base del prisma.

    • Encuentren la altura del prisma.

    • Calculen el volumen del prisma.

    ¿Es un prisma?

    área de la base del prisma
    (cm)

    altura
    (cm)

    volumen
    (cm)

versión impresa

El profesor les entregará una colección de figuras tridimensionales.

  1. Determinen si cada figura es un prisma.

  2. Para cada prisma:

    • Encuentren el área de la base del prisma.

    • Encuentren la altura del prisma.

    • Calculen el volumen del prisma.

    ¿Es un prisma?

    área de la base del prisma
    (cm)

    altura
    (cm)

    volumen
    (cm)

    figura A

    figure B

    figura C

    figura D

    figura E

    figura F

¿Estás listo para más?

Problema 1

Imagina un cubo sólido grande hecho de 64 cubos encajables blancos. Alguien pinta con aerosol azul todas las 6 caras del cubo grande. Después de que la pintura se seca, se desarma el cubo grande en un pila de 64 cubos encajables.

  1. ¿Cuántos de esos 64 cubos encajables tienen exactamente 2 caras que son azules?

  2. ¿Qué otros números de caras azules pueden tener los cubos? ¿Cuántos hay de cada tipo?

  3. Intenta resolver este problema nuevamente con cubos de mayor tamaño en los que se requieran más de 64 cubos encajables para construirlos. ¿Qué regularidades observas?

Actividad 3: ¿Cuál es la altura del prisma?

Problema 1

Hay 4 prismas diferentes, todos con el mismo volumen. Así es cómo se ve la base de cada prisma:

  1. Ordena los prismas del menos alto al más alto. Explica tu razonamiento.

  2. Si el volumen de cada prisma es 60 unidades, ¿cuál sería la altura de cada prisma?

  3. Si el volumen es distinto de 60 unidades, ¿cuál podría ser la altura de cada prisma?

  4. Discutan con su compañero cómo pensaron. Si están en desacuerdo, trabajen para lograr un acuerdo.

Resumen de la lección

Cualquier sección transversal de un prisma que sea paralela a la base será idéntica a la base. Esto quiere decir que podemos hacer cortes al prisma para ayudarnos a encontrar su volumen.

Por ejemplo, si tenemos un prisma rectangular que tiene 3 unidades de alto y una base de 4 unidades por 5 unidades, se puede pensar en 3 capas, donde cada capa tiene unidades cúbicas.

Lo que significa que el volumen del prisma rectangular original es unidades cúbicas.

¡Esto funciona para cualquier prisma! Si se tiene un prisma con altura de 3 cm y una base de área 20 cm², entonces su volumen es cm³, independientemente de la forma de la base. En general, el volumen de un prisma con altura y área es:

Por ejemplo, estos dos prismas tienen ambos un volumen de 100 cm³.