Lección 8Funciones lineales

Objetivo de aprendizaje

Investiguemos funciones lineales.

Metas de aprendizaje

Puedo determinar si una función es creciente o decreciente basándome en si su tasa de cambio es positiva o negativa.
Puedo explicar en mis propias palabras cómo la gráfica de una función lineal se relaciona con su tasa de cambio y su valor inicial.

Calentamiento: Mayor y menor

Diego dijo que estas gráficas están ordenadas de menor a mayor. Mai dijo que están ordenadas de mayor a menor. ¡Pero estas son gráficas, no números! ¿Qué crees que Diego y Mai estaban pensando?

Actividad 1: Relaciones proporcionales definen funciones lineales

Problema 1

Jada gana $7 por cada hora cortando el césped de su vecino.

Nombra dos cantidades en esta situación que estén en una relación funcional. ¿Cuál escogiste como la variable independiente? ¿Cuál es la variable que depende de ella?
Escribe una ecuación que represente la función.
Esta es una gráfica de la función. Etiqueta los ejes. Etiqueta al menos dos puntos de parejas de entrada y salida.

Problema 2

Para convertir pies a yardas, se multiplica el número de pies por $\frac{1}{3}$ .

Nombra las dos cantidades que están en una relación funcional en esta situación. ¿Cuál escogiste como la variable independiente? ¿Cuál es la variable que depende de esta?
Escribe una ecuación que represente la función.
Dibuja la gráfica de la función. Etiqueta por lo menos dos puntos con parejas de entrada y salida.

Actividad 2: ¿Se está llenando o vaciando?

Hay cuatro tanques de agua.

La cantidad de agua en galones, $A$ , que hay en el tanque A está dada por la función $A = 200 + 8 t$ , donde $t$ está en minutos.
La cantidad de agua en galones, $B$ , que hay en el tanque B comienza en 400 galones y disminuye 5 galones cada minuto. Estas funciones sirven cuando $t \geq 0$ y $t \leq 80$ .

¿Cuál tanque comenzó con más agua?
Escribe una ecuación que represente la relación entre $B$ y $t$ .
Un tanque se está llenando. El otro se está vaciando. ¿Cuál es cuál? ¿Cómo lo sabes?
La cantidad de agua en galones, $C$ , que hay en el tanque C está dada por la función $C = 800 - 7 t$ . ¿Se está llenando o desocupando? ¿Puedes saberlo simplemente examinando la ecuación?
La gráfica muestra la cantidad de agua en galones, $D$ , que hay en el tanque D en un tiempo $t$ . ¿Se está llenando o desocupando? ¿Cómo lo sabes?

¿Estás listo para más?

Selecciona un tanque que se estuviera vaciando. ¿Cuánto tiempo tardó el tanque en vaciarse? ¿Qué porcentaje del tanque estaba lleno cuando había transcurrido $30 %$ del tiempo? ¿Cuándo había transcurrido $70 %$ del tiempo?
¿Qué punto en el plano está a $30 %$ del camino de $(0, 15)$ a $(5, 0)$ ?, ¿a $70 %$ del camino?
¿Qué punto en el plano está a $30 %$ del camino de $(3, 5)$ a $(8, 6)$ ?, ¿a $70 %$ del camino?

Actividad 3: ¿Cuál crece más rápido?

Noah deposita dinero en su cuenta bancaria cada semana para ahorrarlo. La gráfica muestra la cantidad que ha ahorrado como una función del tiempo desde que abrió su cuenta.

Elena abrió una cuenta bancaria el mismo día que Noah. La cantidad de dinero $E$ en su cuenta está dada por la función $E = 8 w + 60$ , donde $w$ es el número de semanas desde que se abrió la cuenta.

¿Quién comenzó con más dinero en su cuenta? Explica cómo lo sabes.
¿Quién ahorra dinero a una tasa más rápida? Explica cómo lo sabes.
¿Cuánto ahorrará Noah durante un año si no realiza retiros? ¿Cuánto le tomará a Elena ahorrar esa cantidad?

Resumen de la lección

Supongamos que un automóvil viaja a 30 millas por hora. La relación entre el tiempo en horas y la distancia en millas es una relación proporcional. Podemos representar esta relación con la ecuación $d = 30 t$ , en la que la distancia es una función del tiempo (ya que cada entrada de tiempo está asociada a una única salida de distancia). O se podría, en cambio, escribir la ecuación $t = \frac{1}{30} d$ , donde el tiempo es una función de la distancia (ya que cada entrada de distancia está asociada a una única salida de tiempo).

De manera más general, si representamos una función lineal con una ecuación como $y = m x + b$ , entonces $b$ es el valor inicial (que es 0 para las relaciones proporcionales) y $m$ es la tasa de cambio de la función. Si $m$ es positivo, la función es creciente. Si $m$ es negativo, la función es decreciente. Si representamos una función lineal en una manera distinta, como con una gráfica, podemos usar lo que sabemos sobre gráficas de rectas para encontrar los valores $m$ y $b$ y, si se necesita, escribir una ecuación.