Lección 17Cambiemos la escala de una dimensión

Objetivo de aprendizaje

Veamos cómo cambia el volumen de una figura al cambiar una dimensión.

Metas de aprendizaje

  • Puedo crear una gráfica de la relación entre el volumen y la altura de todos los cilindros (o conos) con un radio fijo.

  • Puedo explicar en mis propias palabras por qué cambiar la altura por un factor de escala cambia el volumen por el mismo factor de escala.

Calentamiento: Conducir cierta distancia

Problema 1

Esta es una gráfica de la cantidad de gasolina que consume durante un viaje un camión, que se está conduciendo a una rapidez constante por una autopista. 

  1. Al final del viaje, ¿qué distancia se condujo el camión y cuánta gasolina usó?

  2. Si un camión viajó la mitad de la distancia a la misma tasa, ¿cuánta gasolina usó?

  3. Si un camión viajó el doble de la distancia a la misma tasa, ¿cuánta gasolina usó?

  4. Completa la oración:

    es una función de .  

Actividad 1: Dupliquemos la arista

Problema 1

Hay muchos prismas rectangulares rectos con una arista de 5 unidades de longitud y otra arista de 3 unidades de longitud. La variable representa la longitud de la tercera arista y la variable representa el volumen del prisma.

  1. Escribe una ecuación que represente la relación entre y .

  2. Grafica esta ecuación y etiqueta los ejes.

    open applet in presentation mode

  3. ¿Qué pasa con el volumen si se duplica la longitud de arista ? ¿En qué parte de la gráfica puedes observar esto? ¿Dónde puedes observar esto de una manera algebraica?

versión impresa

Hay muchos prismas rectangulares rectos con una arista de 5 unidades de longitud y otra arista de 3 unidades de longitud. La variable representa la longitud de la tercera arista y la variable representa el volumen del prisma.

  1. Escribe una ecuación que represente la relación entre y .

  2. Grafica esta ecuación y etiqueta los ejes.

  3. ¿Qué pasa con el volumen si se duplica la longitud de arista ? ¿En qué parte de la gráfica puedes observar esto? ¿Dónde puedes observar esto de una manera algebraica?

Actividad 2: Reduzcamos la altura a la mitad

Problema 1

Hay muchos cilindros con radio de 5 unidades. En esta actividad, la variable representa la altura y la variable representa el volumen de estos cilindros.

  1. Escribe una ecuación que represente la relación entre y . Usa 3.14 como una aproximación de .

  2. Grafica esta ecuación y etiqueta los ejes.

    open applet in presentation mode

  3. ¿Qué pasa con el volumen si reduces la altura a la mitad? ¿En qué parte de la gráfica puedes observar esto? ¿Cómo lo puedes observar de una manera algebraica?

versión impresa

Hay muchos cilindros con 5 unidades de radio. En esta actividad, la variable representa la altura y la variable representa el volumen de estos cilindros.

  1. Escribe una ecuación que represente la relación entre y . Usa 3.14 como una aproximación de .

  2. Grafica esta ecuación y etiqueta los ejes.

  3. ¿Qué pasa con el volumen si reduces la altura a la mitad? ¿En qué parte de la gráfica puedes observar esto? ¿Cómo lo puedes observar de una manera algebraica?

¿Estás listo para más?

Problema 1

Supongamos que tenemos un prisma rectangular con dimensiones de 2 unidades por 3 unidades por 6 unidades, y queremos hacer un prisma rectangular con 216 unidades cúbicas de volumen alargando una de sus tres dimensiones.

  1. ¿Cuáles son las tres formas de hacer esto? De estas formas, ¿cuál produce el prisma con la menor área de superficie?

  2. Repite este proceso para un prisma rectangular inicial con dimensiones de 2 unidades por 6 unidades por 6 unidades.

  3. ¿Puedes dar algunos consejos generales a alguien que quiera hacer una caja con un volumen determinado y que quiera tener la menor superficie posible para ahorrar costos en los materiales?

Actividad 3: Descubre las dimensiones de un cono

Problema 1

Esta es una gráfica de la relación entre la altura y el volumen de algunos conos que tienen el mismo radio:

  1. ¿Qué representan las coordenadas del punto etiquetado?

  2. ¿Cuál es el volumen del cono de altura 5?, ¿y el del cono de altura 30?

  3. Usa el punto etiquetado para encontrar el radio de estos conos. Usa 3.14 como una aproximación de .

  4. Escribe una ecuación que relacione el volumen y la altura .

Resumen de la lección

Imagina un cilindro de radio 5 cm que se está llenando con agua. A medida que la altura del agua aumenta, el volumen del agua aumenta.

Sabemos que el volumen del agua en el cilindro depende de la altura del agua. Podemos representar esta relación con una ecuación: o simplemente:

Esta ecuación representa una relación proporcional entre la altura y el volumen. Podemos usar esta ecuación para comprender cómo cambia el volumen si la altura se triplica.

El nuevo volumen sería , que es exactamente 3 veces mayor que el volumen anterior de . En general, si una cantidad en una relación proporcional cambia por un factor determinado, la otra cantidad cambia por el mismo factor.

Recordemos que las relaciones proporcionales son ejemplos de relaciones lineales, y estas también se pueden pensar como funciones. Así, en este ejemplo, el volumen de agua en el cilindro es una función de la altura del agua.