Lección 13El volumen de un cilindro

Objetivo de aprendizaje

Exploremos cilindros y sus volúmenes.

Metas de aprendizaje

Conozco la fórmula del volumen de un cilindro.
Puedo determinar el volumen de un cilindro en situaciones matemáticas y del mundo real.

Términos de la lección

cilindro
cono
esfera

Calentamiento: Dimensiones de un círculo

Este es un círculo. Están dibujados los puntos $A$ , $B$ , $C$ y $D$ , y los segmentos $A D$ y $B C$ .

¿Cuál es el área del círculo, en unidades cuadradas? Selecciona todas las que correspondan.
1. $4 π$
2. $π 8$
3. $16 π$
4. $π 4^{2}$
5. Aproximadamente $25$
6. Aproximadamente $50$
Si el área de un círculo es $49 π$ unidades cuadradas, ¿cuál es su radio? Explica tu razonamiento.

Actividad 1: Volúmenes circulares

¿Cuál es el volumen de cada figura, en unidades cúbicas? Incluso si no estás seguro, intenta hacer una conjetura razonable.

Figura A: A es un prisma rectangular cuya base tiene un área de 16 unidades cuadradas y cuya altura es 3 unidades.
Figura B: A es un cilindro cuya base tiene un área de 16 $π$ unidades cuadradas y cuya altura es 1 unidad.
Figura C: A es un cilindro cuya base tiene un área de 16 $π$ unidades cuadradas y cuya altura es 3 unidades.

¿Estás listo para más?

prisma	prisma	prisma	cilindro
base: cuadrado	base: hexágono	base: octágono	base: círculo

Estos sólidos están relacionados por una medida común. En cada uno de estos sólidos, la distancia del centro de la base al borde más lejano de la base es 1 unidad, y la altura del sólido es 5 unidades. Usa 3.14 como una aproximación para $π$ para resolver estos problemas.

Determina el área de la base cuadrada y de la base circular.
Usa estas áreas para calcular los volúmenes del prisma rectangular y del cilindro. ¿Cómo se relacionan?
Sin hacer cálculos, haz una lista de las figuras de menor a mayor de acuerdo a su volumen. Usa las imágenes y tu conocimiento de polígonos para explicar tu razonamiento.
El área del hexágono es aproximadamente 2.6 unidades cuadradas y el área del octágono es aproximadamente 2.83 unidades cuadradas. Usa estas áreas para calcular los volúmenes de los prismas con el hexágono y el octágono como bases. ¿Qué tanto coincide esto con tu razonamiento en la pregunta anterior?

Actividad 2: Las dimensiones de un cilindro

Problema 1

En los cilindros a al d, dibuja un radio y la altura. Etiqueta el radio con una $r$ y la altura con una $h$ .

Problema 2

Ya has aprendido cómo dibujar un cilindro. Dibuja cilindros en las fotos y etiqueta el radio y la altura de cada uno.

Actividad 3: El volumen de un cilindro

Problema 1

Este es un cilindro con altura de 4 unidades y diámetro de 10 unidades.

Sombreen la base del cilindro.
¿Cuál es el área de la base del cilindro? Expresen su respuesta en términos de $π$ .
¿Cuál es el volumen de este cilindro? Expresen su respuesta en términos de $π$ .

Problema 2

Un silo es un recipiente cilíndrico que se usa en las granjas para mantener grandes cantidades de productos, tales como granos. En una granja en particular, un silo tiene una altura de 18 pes y diámetro de 6 pies. Hagan un dibujo de este silo y etiqueten su altura y radio. ¿Cuántos pies cúbicos de granos puede contener este silo? Usen 3.14 como una aproximación para $π$ .

¿Estás listo para más?

Una manera de construir un cilindro es tomar un rectángulo (por ejemplo, una hoja de papel), enrollar dos bordes opuestos juntos y pegarlos en su lugar.

¿Qué te daría un cilindro con mayor volumen: pegar los dos bordes punteados juntos o pegar los dos lados continuos juntos?

Resumen de la lección

Para determinar el volumen de un cilindro de radio $r$ y altura $h$ , podemos usar dos ideas que hemos estudiado antes:

El volumen de un prisma rectangular es el resultado de multiplicar el área de su base por su altura.
La base del cilindro es un círculo con radio $r$ , así que el área de la base es $π r^{2}$ .

Recordemos que $π$ es el número que se obtiene al dividir la circunferencia de cualquier círculo entre su diámetro. El valor de $π$ es aproximadamente 3.14.

Al igual que en un prisma rectangular, el volumen de un cilindro es el área de la base multiplicada por la altura. Por ejemplo, tomemos un cilindro cuyo radio es 2 cm y cuya altura es 5 cm.

La base tiene un área de $4 π$ cm² (ya que $π \cdot 2^{2} = 4 π$ ), así que el volumen es $20 π$ cm³ (ya que $4 π \cdot 5 = 20 π$ ). Si aproximamos $π$ a 3.14, podemos decir que el volumen del cilindro es aproximadamente 62.8 cm³.

En general, la base de un cilindro con radio $r$ unidades tiene un área $π r^{2}$ unidades cuadradas. Si la altura es $h$ unidades, entonces el volumen $V$ en unidades cúbicas es $V = π r^{2} h$ .