Lección 18Cambiemos la escala de dos dimensiones

Objetivo de aprendizaje

Cambiemos más dimensiones de figuras.

Metas de aprendizaje

Puedo crear una gráfica que represente la relación entre el volumen y el radio para todos los cilindros (o conos) con una altura fija.
Puedo explicar en mis propias palabras por qué al cambiar el radio por un factor de escala se cambia el volumen por el factor de escala al cuadrado.

Calentamiento: Triplicar enunciados

$m$ , $n$ , $a$ , $b$ y $c$ representan enteros positivos. Considera estas dos ecuaciones: $m = a + b + c$ $n = a b c$

¿Cuáles de estos enunciados son verdaderos? Selecciona todos los que correspondan:
1. Si se triplica $a$ , entonces $m$ se triplica.
2. Si se triplican $a$ , $b$ y $c$ , entonces $m$ se triplica.
3. Si se triplica $a$ , entonces $n$ se triplica.
4. Si se triplican $a$ , $b$ y $c$ , entonces $n$ se triplica.
Crea un enunciado verdadero sobre una de las ecuaciones.

Actividad 1: Una base cuadrada

Clare dibuja un prisma rectangular con una altura de 11 y una base cuadrada, y etiqueta con $s$ las aristas de la base. Ella le pregunta a Han lo que pasará con el volumen del prisma rectangular si triplica $s$ .

Han dice que el volumen será 9 veces mayor. ¿Tiene razón? Explica o muestra tu razonamiento.

¿Estás listo para más?

Se puede construir un cilindro enrollando un pedazo de papel y pegando las dos aristas opuestas (las aristas punteadas en la figura).

Si quisieras aumentar el volumen dentro del cilindro resultante, ¿tendría más sentido duplicar $x$ , $y$ o eso no hace diferencia?
Si quisieras aumentar el área de superficie del cilindro resultante, ¿tendría más sentido duplicar $x$ , $y$ , o eso no hace diferencia?
¿Cómo cambiarían tus respuestas a estas preguntas si pegáramos las líneas continuas en vez de las punteadas para hacer el cilindro?

Actividad 2: Juguemos con conos

Hay muchos conos con una altura de 7 unidades. Digamos que $r$ representa el radio y $V$ representa el volumen de estos conos.

Escribe una ecuación que exprese la relación entre $V$ y $r$ . Usa 3.14 como una aproximación para $π$ .
Predice lo que pasa con el volumen si triplicas el valor de $r$ .
Grafica esta ecuación.
open applet in presentation mode
¿Qué pasa con el volumen si triplicas $r$ ? ¿En qué parte de la gráfica observas esto? ¿Cómo puedes observar esto algebraicamente?

versión impresa

Hay muchos conos con una altura de 7 unidades. Digamos que $r$ representa el radio y $V$ representa el volumen de estos conos.

Escribe una ecuación que exprese la relación entre $V$ y $r$ . Usa 3.14 como una aproximación para $π$ .
Predice lo que pasa con el volumen si triplicas el valor de $r$ .
Grafica esta ecuación.
¿Qué pasa con el volumen si triplicas $r$ ? ¿En qué parte de la gráfica observas esto? ¿Cómo puedes observar esto algebraicamente?

Resumen de la lección

Hay muchos prismas rectangulares que tienen un largo de 4 unidades y un ancho de 5 unidades, pero diferentes alturas. Si $h$ representa la altura, entonces el volumen $V$ de esos prismas es:

$V = 20 h$

La ecuación nos muestra que el volumen de un prisma, con 20 unidades cuadradas de área de la base, es una función lineal de la altura. Dado que esta es una relación proporcional, si la altura se multiplica por un factor de $a$ , entonces el volumen también se multiplica por un factor de $a$ :

$V = 20 (a h)$

¿Qué pasa si cambiamos la escala de dos dimensiones de un prisma por un factor de $a$ ? En este caso, el volumen se multiplica dos veces por un factor de $a$ , es decir, por $a^{2}$ .

Por ejemplo, pensemos en un prisma con un largo de 4 unidades, un ancho de 5 unidades y una altura de 6 unidades. Su volumen es 120 unidades cúbicas porque $4 \cdot 5 \cdot 6 = 120$ . Ahora, imaginemos que se cambian las escalas del largo y del ancho por un factor de $a$ , esto significa que el nuevo prisma tiene un largo de $4 a$ , un ancho de $5 a$ y una altura de 6. El nuevo volumen es $120 a^{2}$ unidades cúbicas porque $4 a \cdot 5 a \cdot 6 = 120 a^{2}$ .

Una relación similar sucede con los cilindros. Pensemos en un cilindro con una altura de 6 y un radio de 5. El volumen sería $150 π$ unidades cúbicas porque $π \cdot 5^{2} \cdot 6 = 150 π$ . Ahora, imaginemos que se cambia la escala del radio por un factor de $a$ . Entonces, el nuevo volumen es $π \cdot {(5 a)}^{2} \cdot 6 = π \cdot 25 a^{2} \cdot 6$ o $150 a^{2} π$ unidades cúbicas. ¡Entonces, cambiar la escala del radio por un factor de $a$ tiene el efecto de multiplicar el volumen por $a^{2}$ !

¿Por qué se multiplica el volumen por $a^{2}$ si solo se cambia el radio? Esto tiene sentido si imaginamos cómo al cambiar la escala del radio se cambia el área de la base del cilindro. Mientras el radio aumenta, el área de la base aumenta en dos dimensiones (el círculo se hace más ancho y también más largo), mientras que la tercera dimensión del cilindro (la altura) se mantiene igual.

Lección 18Cambiemos la escala de dos dimensiones

Objetivo de aprendizaje

Metas de aprendizaje

Calentamiento: Triplicar enunciados

Problema 1

Actividad 1: Una base cuadrada

Problema 1

¿Estás listo para más?

Problema 1

Actividad 2: Juguemos con conos

Problema 1

Resumen de la lección