Lección 9Modelos lineales

Objetivo de aprendizaje

Modelemos situaciones con funciones lineales.

Metas de aprendizaje

  • Puedo decidir cuándo una función lineal es un buen modelo para los datos y cuándo no lo es.

  • Puedo usar puntos de datos para modelar una función lineal.

Calentamiento: Luz de una vela

Problema 1

Una vela se consume. Esta comienza con 12 pulgadas de largo. Después de 1 hora, tiene 10 pulgadas de largo. Después de 3 horas, tiene 5.5 pulgadas de largo.

Esta herramienta es para que la usen si lo desean. Para marcar un punto, escriban sus coordenadas. Por ejemplo, intenten escribir . Para graficar una recta, escriban su ecuación. Intenten escribir . Pueden borrar cualquier cosa al hacer clic sobre la X que está al lado.

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  1. ¿Cuándo creen que la vela se consumirá completamente?

  2. ¿Es la altura de la vela una función del tiempo? Si así es, ¿es una función lineal? Expliquen su razonamiento.​

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Una vela se consume. Esta comienza con 12 pulgadas de largo. Después de 1 hora, tiene 10 pulgadas de largo. Después de 3 horas, tiene 5.5 pulgadas de largo.

  1. ¿Cuándo creen que la vela se consumirá completamente?

  2. ¿Es la altura de la vela una función del tiempo? Si así es, ¿es una función lineal? Expliquen su razonamiento.

Actividad 1: Sombras

Problema 1

Cuando el sol estaba directamente encima, la vara no tenía sombra. Después de 20 minutos, la sombra medía 10.5 cm de largo. Luego de 60 minutos, medía 26 cm de largo.

Esta herramienta es para que la usen si así lo desean. Para marcar un punto, escriban sus coordenadas. Por ejemplo, intenten escribir . Para graficar una recta, escriban su ecuación. Intenten escribir . Pueden borrar cualquier cosa al hacer clic en la X que está al lado.

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  1. Basándose en esta información, estimen qué tan larga será la sombra después de 95 minutos.

  2. Después de 95 minutos, la sombra medía 38.5 cm. ¿En qué se parece o se diferencia esto con su estimación?

  3. ¿La longitud de la sombra es una función del tiempo? Si así es, ¿esta es lineal? Expliquen su razonamiento.

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Cuando el sol estaba directamente encima, la vara no tenía sombra. Después de 20 minutos, la sombra medía 10.5 cm de largo. Luego de 60 minutos, medía 26 cm de largo.

  1. Basándose en esta información, estimen qué tan larga será la sombra después de 95 minutos.

  2. Después de 95 minutos, la sombra medía 38.5 cm. ¿En qué se parece o se diferencia esto con su estimación?

  3. ¿La longitud de la sombra es una función del tiempo? Si así es, ¿esta es lineal? Expliquen su razonamiento.

Actividad 2: Reciclar

Problema 1

En una lección anterior, observamos esta gráfica que muestra el porcentaje de toda la basura que fue reciclada entre 1991 y 2013 en EE. UU.

  1. Dibuja una función lineal que modele el cambio en el porcentaje de basura que fue reciclada entre 1991 y 1995. ¿En qué años el modelo es bueno para predecir el porcentaje de basura que se produjo? ¿En qué años no es tan bueno?

  2. Escoge otro período de tiempo para modelar con un dibujo de una función lineal. ¿En qué años el modelo es bueno para hacer predicciones? ¿En qué años no es muy bueno?

Resumen de la lección

A distintas altitudes, el agua tiene diferentes puntos de ebullición. A 0 m sobre el nivel del mar, el punto de ebullición es C. A 2,500 m sobre el nivel del mar, el punto de ebullición es 91.3 C. Si asumimos que el punto de ebullición del agua es una función lineal de la altitud, podemos usar estos dos puntos de datos para calcular la pendiente de la recta:

Esta pendiente significa que para cada aumento de 2,500 m, el punto de ebullición del agua disminuye en C. Por otro lado, ya sabemos que la intersección con el eje es C (por el primer punto), así que la ecuación lineal que representa los datos es:

Esta ecuación es un ejemplo de un modelo matemático. Un modelo matemático es un objeto matemático (como una ecuación, una función o una figura geométrica) que se usa para representar una situación de la vida real. Algunas veces una situación se puede modelar por una función lineal. Tenemos que ser críticos al decidir si es razonable hacerlo, basados en la información que nos dan. Debemos ser conscientes de que el modelo puede hacer predicciones imprecisas o puede ser apropiado solo para ciertos rangos de valores.

Al poner a prueba nuestro modelo para el punto de ebullición del agua, este predice de manera acertada que a una alitud de 1,000 m sobre el nivel del mar (cuando ), el agua hierve a C, ya que . Para altitudes mayores, el modelo no es preciso, pero aún así se acerca. A 5,000 m sobre el nivel del mar, este predice C, lo cual está a C del valor exacto (que es C). A 9,000 m sobre el nivel del mar, este predice C, lo cual es C menor que el valor exacto (que es C). El modelo sigue siendo menos exacto a altitudes más elevadas ya que la relación entre el punto de ebullición del agua y la altitud no es lineal, pero para las altitudes en las que la mayoría de las personas viven, este modelo es muy bueno.