Lección 22El volumen como una función de...

Objetivo de aprendizaje

Comparemos la altura del agua en diferentes recipientes.

Meta de aprendizaje

Puedo comparar funciones sobre el volumen representado de diferentes maneras.

Calentamiento: ¿Falta información?

Un cilindro y una esfera tienen la misma altura.

Si la esfera tiene un volumen de $36 π$ unidades cúbicas, ¿cuál es la altura del cilindro?
¿Cuál es un volumen posible para el cilindro? Prepárate para explicar tu razonamiento.

Actividad 1: Cambiemos la escala del volumen de una esfera

Problema 1

Completa la tabla con los volúmenes que faltan. Escríbelos en términos de $π$ . Agrega dos parejas más de radio y volumen que tú elijas.

radio
$1$
$2$
$3$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}$
$100$
volumen
$\frac{4}{3} π$
Compara el volumen de una esfera de 2 cm de radio con el de una esfera de 1 cm de radio.
Compara el volumen de una esfera de $\frac{1}{2}$ cm de radio con el de una esfera de 1 cm de radio.

Problema 2

Una esfera tiene una longitud de radio $r$ .

¿Qué pasa con el volumen de esta esfera si se duplica su radio?
¿Qué pasa con el volumen de esta esfera si se reduce su radio a la mitad?

Problema 3

El volumen de la esfera Q es 500 cm³. La esfera S tiene un radio $\frac{1}{5}$ tan grande como el de la esfera Q. ¿Cuál es el volumen de la esfera S?

Actividad 2: Un cilindro, un cono y una esfera

Tres recipientes de la misma altura se llenaron con agua a la misma tasa. Un recipiente es un cilindro, otro es un cono y otro es una esfera. Mientras se llenaban, la relación entre el volumen del agua y la altura del agua se registró de diferentes maneras, como se muestra a continuación:

Cilindro:

$h = \frac{V}{4 π}$

Cono:

Esfera:

volume (in³)	height (in)
$0$	$0$
$8.38$	$1$
$29.32$	$2$
$56.55$	$3$
$83.76$	$4$
$104.72$	$5$
$113.04$	$6$
$120$	$6$
$200$	$6$

El volumen máximo de agua que puede contener el cilindro es $24 π$ . ¿Cuál es el radio del cilindro?
Usa la gráfica anterior del cono para representar la relación entre el volumen de agua vertida en el cilindro y la altura del agua en el cilindro, utilizando los mismos ejes del cono. ¿Qué representa la pendiente de esta recta?
¿Cuál es el recipiente que puede contener más cantidad de agua? ¿Y el que menos?
¿Aproximadamente para qué volumen de agua la esfera y el cilindro tienen la misma altura de agua?, ¿y para el cilindro y el cono? Explica cómo lo sabes.
¿Para qué rango aproximado de volumen es mayor la altura del agua en el cilindro que la altura del agua en el cono? Explica cómo lo sabes.
¿Para qué rango aproximado de volumen es menor la altura del agua en la esfera que la altura del agua en el cilindro? Explica cómo lo sabes.

radio	$1$	$2$	$3$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$100$
volumen	$\frac{4}{3} π$