Lección 5Bases y alturas de paralelogramos

Objetivo de aprendizaje

Investiguemos un poco más sobre el área de paralelogramos.

Metas de aprendizaje

Puedo escribir y explicar la fórmula del área de un paralelogramo.
Puedo identificar parejas de base y altura de un paralelogramo.
Sé a qué se refieren los términos “base” y “altura” en un paralelogramo.

Términos de la lección

altura (de un paralelogramo o un triángulo)
base (de un paralelogramo o un triángulo)
cuadrilátero
paralelogramo

Calentamiento: Un paralelogramo y sus rectángulos

Elena y Tyler trataban de encontrar el área de este paralelogramo:

Mueve el control deslizante para ver cómo lo hizo Tyler:

Mueve el control deslizante para ver cómo lo hizo Elena:

¿En qué se parecen las dos estrategias para encontrar el área de un paralelogramo? ¿En qué se diferencian?

versión impresa

Elena y Tyler trataban de encontrar el área de este paralelogramo:

Así lo hizo Elena:

Así lo hizo Tyler:

¿En qué se parecen las dos estrategias para encontrar el área de un paralelogramo? ¿En qué se diferencian?

Actividad 1: ¿Es la altura correcta?

Problema 1

Cada paralelogramo tiene un lado etiquetado como “base”.

Analiza los ejemplos y los no-ejemplos de bases y alturas de los paralelogramos y después responde las siguientes preguntas.

Ejemplos: el segmento punteado en cada dibujo representa la altura correspondiente para la base dada.

No-ejemplos: el segmento punteado en cada dibujo no representa la altura correspondiente para la base dada.

Selecciona todos los enunciados que son verdaderos para las bases y alturas de un paralelogramo.

Solo un lado horizontal de un paralelogramo puede ser una base.
Cualquier lado de un paralelogramo puede ser una base.
Una altura se puede dibujar a cualquier ángulo con respecto al lado elegido como la base.
Una base y su altura correspondiente deben ser perpendiculares entre ellas.
Una altura solo se puede dibujar dentro de un paralelogramo.
Una altura se puede dibujar afuera de un paralelogramo, siempre y cuando se dibuje a un ángulo de 90 grados con respecto a la base.
Una base no puede extenderse para encontrarse con una altura.

Problema 2

Cinco estudiantes etiquetaron una base $b$ y su altura correspondiente $h$ en cada uno de estos paralelogramos. ¿Todos los dibujos están etiquetados correctamente? Explica cómo lo sabes.

¿Estás listo para más?

En el applet, el paralelogramo está conformado por segmentos de recta sólida y la altura y las rectas de soporte están representadas por segmentos punteados. Una base ( $b$ ) y su altura correspondiente ( $h$ ) están etiquetadas.

Experimenta arrastrando todos los puntos movibles alrededor de la pantalla. ¿Puedes cambiar el paralelogramo de manera que...

su altura esté en una ubicación diferente?
tenga lados horizontales?
sea alto y angosto?
también sea un rectángulo?
no sea un rectángulo y su base y altura sean $b = 5$ y $h = 3$ ?

versión impresa

¿Puedes cambiar el paralelogramo de manera que...

su altura esté en una ubicación diferente.
tenga lados horizontales?
sea alto y angosto?
también sea un rectángulo?
no sea un rectángulo y su base y altura sean $b = 5$ y $h = 3$ ?

Actividad 2: Encontremos la fórmula del área de los paralelogramos

Para cada paralelogramo:

Identifica una base y su altura correspondiente y anota sus longitudes en la siguiente tabla.
Encuentra el área y escríbela en la columna final a la derecha.

En la última fila, escribe una expresión usando $b$ y $h$ para calcular el área de cualquier paralelogramo.

paralelogramo	base (unidades)	altura (unidades)
$A$
$B$
$C$
$D$
cualquier paralelogramo	$b$	$h$

¿Estás listo para más?

Problema 1

¿Qué le sucede al área de un paralelogramo si la altura se duplica pero la base permanece igual?, ¿si la altura se triplica?, ¿si la altura es 100 veces la original?

Problema 2

¿Qué le sucede al área si tanto la base como la altura se duplican?, ¿si ambas se triplican?, ¿si ambas miden 100 veces sus longitudes originales

Resumen de la lección

Podemos elegir cualquiera de los cuatro lados de un paralelogramo como la base. Tanto el lado (el segmento) como su longitud (la medida) se llaman base.
Si dibujamos cualquier segmento perpendicular desde un punto sobre la base hasta el lado opuesto del paralelogramo, ese segmento siempre tendrá la misma longitud. A ese valor lo llamamos altura. ¡Hay infinitos segmentos de recta que pueden representar la altura!

Estas son dos copias del mismo paralelogramo. En la de la izquierda, el lado que se eligió como la base mide 6 unidades y su altura correspondiente mide 4 unidades. En la de la derecha, el lado que se eligió como la base mide 5 unidades y su altura mide 4.8 unidades. En ambos casos, se muestran tres segmentos diferentes que representan la altura, ¡pero podríamos dibujar muchos más!

Sin importar qué lado se escoja como la base, el área del paralelogramo es el producto de esa base y su altura correspondiente. Podemos comprobarlo:

$4 \times 6 = 24$ $y$ $4.8 \times 5 = 24$

Podemos ver por qué esto es cierto al descomponer y reorganizar los paralelogramos en rectángulos.

Observa que las longitudes de los lados de cada rectángulo son la base y la altura del paralelogramo. Aunque los dos rectángulos tienen lados con longitudes diferentes, los productos de las longitudes de los lados son iguales y, entonces, ¡su área es la misma! Además, el área de ambos rectángulos es la misma que la del paralelogramo.

A menudo usamos letras para representar números. Si $b$ es la base de un paralelogramo (en unidades) y $h$ es la altura correspondiente (en unidades), entonces el área del paralelogramo (en unidades cuadradas) es el producto de esos dos números.

$b \cdot h$

Observa que escribimos el símbolo de multiplicación con un pequeño punto en lugar del símbolo $\times$ . Esto lo hacemos para no confundirnos con respecto a si $\times$ significa multiplicación o si se trata de la letra $x$ y representa un número.

En la preparatoria, vas a poder demostrar que un segmento perpendicular desde un punto en un lado del paralelogramo hacia el lado opuesto siempre tendrá la misma longitud.

Esto lo puedes ver fácilmente cuando dibujas un paralelogramo sobre papel cuadriculado. Por ahora, usamos esto como un hecho.