Lección 9Fórmula del área de un triángulo

Calentamiento: Bases y alturas de un triángulo

Problema 1

Estudia los ejemplos y los no-ejemplos de bases y alturas en un triángulo. Responde a las preguntas que siguen.

• Estos segmentos punteados representan las alturas del triángulo.

• Estos segmentos punteados no representan las alturas del triángulo.

Escoge todas las afirmaciones verdaderas acerca de las bases y las alturas de un triángulo.

1. Cualquier lado de un triángulo puede ser una base.

2. Hay una sola altura posible.

3. Una altura siempre es uno de los lados de un triángulo.

4. Una altura que corresponde a una base tiene que dibujarse formando un ángulo agudo con la base.

5. Una altura que corresponde a una base tiene que dibujarse formando un ángulo recto con la base.

6. Una vez escogemos una base, existe solo un segmento que representa la altura correspondiente.

7. Un segmento que represente una altura tiene que pasar por un vértice.

Actividad 1: Encontremos la fórmula del área de un triángulo

Problema 1

• En cada triángulo:

  • Identifica una base y una altura correspondiente, y escribe sus longitudes en la tabla.

  • Encuentra el área del triángulo y anótala en la última columna de la tabla.

• En la última fila, escribe una expresión para el área de cualquier triángulo, usando y .

triángulo	base (unidades)	altura (unidades)	área (unidades cuadradas)
cualquier triángulo

Actividad 2: Usemos la fórmula del área de triángulos

Problema 1

En cada triángulo, etiqueta la medida de una base que puedas usar para hallar el área del triángulo. Después, halla el área en tres de los triángulos que elijas. Muestra tu razonamiento.

Resumen de la lección

• Podemos llamar base a cualquiera de los tres lados de un triángulo. El término “base” se refiere tanto al lado como a su longitud (la medida).

• La altura correspondiente es la longitud de un segmento perpendicular que va de la base hasta el vértice opuesto a ella. El vértice opuesto es el vértice que no es un punto extremo de la base.

Estas son tres parejas de bases y alturas del mismo triángulo. Los segmentos punteados en los diagramas representan las alturas.

Un segmento que representa una altura se puede dibujar formando un ángulo recto con la base, pero se puede dibujar en más de un lugar. No tiene que pasar por el vértice opuesto, siempre y cuando una la base y una recta paralela a la base que atraviese el vértice opuesto, como se muestra aquí.

Las parejas de base y altura en un triángulo están relacionadas estrechamente con las de un paralelogramo. Recuerda que dos copias de un triángulo pueden componerse para formar uno o más paralelogramos. Cada paralelogramo comparte por lo menos una base con el triángulo.

Para cualquier base que ellos compartan, también comparten la altura correspondiente, como se muestra con los segmentos punteados.

Podemos usar la medidas de base y altura y nuestro conocimiento sobre paralelogramos para hallar el área de cualquier triángulo.

• La fórmula del área de un paralelogramo con base y altura es .

• Un triángulo ocupa la mitad del área de un paralelogramo que tiene la misma base y altura, entonces podemos expresar el área de un triángulo así:
  

• El área del triángulo es 15 unidades cuadradas, porque .

• El área del triángulo es 4.5 unidades cuadradas, porque .

• El área del triángulo es 24 unidades cuadradas, porque .

En cada caso, un lado del triángulo es la base pero ninguno de los otros lados es la altura. Esto ocurre porque el ángulo entre ellos no es un ángulo recto.

Sin embargo, en los triángulos rectángulos, los dos lados que son perpendiculares pueden ser una base y una altura.

El área de este triángulo es 18 unidades cuadradas, sin importar si usamos 4 unidades o 9 unidades para la base.

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