Lección 7Las razones equivalentes tienen las mismas tasas unitarias

Objetivo de aprendizaje

Repasemos las razones equivalentes.

Metas de aprendizaje

Puedo dar un ejemplo de dos razones equivalentes y mostrar que tienen las mismas tasas unitarias.
Puedo multiplicar por o dividir entre la tasa unitaria para calcular valores que hacen falta en una tabla de razones equivalentes.

Términos de la lección

precio unitario
tasa unitaria

Calentamiento: Cuál es diferente: comparemos rapideces

¿Cuál es diferente? Prepárate para explicar tu razonamiento.

5 millas en 15 minutos
3 minutos por cada milla
20 millas por cada hora
32 kilómetros por cada hora

Actividad 1: El precio de los burritos

Dos burritos cuestan $14. Completa la tabla con el costo de 4, 5 y 10 burritos a esa tasa. Luego halla el costo de un solo burrito en cada caso.
número de burritos
costo en
dólares
precio unitario
(dólares por cada burrito)
$2$
$14$
$4$
$5$
$10$
$b$
¿Qué observas sobre los valores en esta tabla?
Noah compró $b$ burritos y pagó $c$ dólares. Lin compró el doble de burritos que Noah y pagó el doble. ¿Cuánto pagó Lin por cada burrito?
número de burritos
costo en dólares
precio unitario
(dólares por cada burrito)
Noah
$b$
$c$
$\frac{c}{b}$
Lin
$2 \cdot b$
$2 \cdot c$
Explica por qué, si puedes comprar $b$ burritos con $c$ dólares o comprar $2 \cdot b$ burritos con $2 \cdot c$ dólares, el costo por cada artículo es el mismo en cualquier caso.

	número de burritos	costo en dólares	precio unitario (dólares por cada burrito)
Noah	$b$	$c$	$\frac{c}{b}$
Lin	$2 \cdot b$	$2 \cdot c$

Actividad 2: Hagamos pulseras

Problema 1

Completa la tabla. Luego explica la estrategia que utilizaste para hacerlo.

tiempo (segundos)	número de pulseras	rapidez (pulseras por cada hora)
$2$		$6$
$5$		$6$
$7$		$6$
	$66$	$6$
	$100$	$6$

Problema 2

Esta es una tabla de una actividad anterior que se ha llenado parcialmente. Utiliza la misma estrategia que usaste en el problema de las pulseras para completar esta tabla.

número de burritos	costo en dólares	precio unitario (dólares por cada burrito)
	$14.00$	$7.00$
	$28.00$	$7.00$
$5$		$7.00$
$10$		$7.00$

Problema 3

Ahora compara tus resultados con los de la primera tabla en la actividad anterior. ¿Concuerdan? Explica por qué sí o por qué no.

Actividad 3: ¿Cuánto puré de manzana?

Se necesitan 4 libras de manzanas para preparar 6 tazas de puré de manzana.

libras de manzana	tazas de puré de manzana
$4$	$6$
$7$
$10$
	$9$
	$20$

¿Indica cuánto puré de manzana puedes preparar a esta tasa con 7 libras de manzanas?
¿Indica cuánto puré de manzana puedes preparar a esta tasa con 10 libras de manzanas?
¿Indica cuánto puré de manzana puedes preparar a esta tasa con 9 libras de manzanas?
¿Indica cuánto puré de manzana puedes preparar a esta tasa con 20 libras de manzanas?

¿Estás listo para más?

Problema 1

Jada se come 2 bolas de helado en 5 minutos. Noah se come 3 bolas de helado en 5 minutos. Si continúan comiendo helado a la misma tasa que lo hacen individualmente, ¿cuánto se demoran en comer 1 bola de helado juntos?

Problema 2

La manguera del jardín de la casa de Andre puede llenar un balde de 5 galones en 2 minutos. La manguera de la casa de su vecino puede llenar un balde de 10 galones en 8 minutos. Si utilizan ambas mangueras al mismo tiempo y éstas continúan arrojando agua a la misma tasa, ¿cuánto tardarán en llenar una piscina de 750 galones?

Resumen de la lección

La siguiente tabla muestra diferentes cantidades de manzanas que se venden a la misma tasa, lo que significa que todas las razones en la tabla son equivalentes. En cada caso, podemos hallar el precio unitario en dólares por cada libra dividiendo el precio entre el número de libras.

manzanas (libras)	precio (dólares)	precio unitario (dólares por cada libra)
$4$	$10$	$10 \div 4 = 2.50$
$8$	$20$	$20 \div 8 = 2.50$
$20$	$50$	$50 \div 20 = 2.50$

El precio unitario siempre es el mismo. Así compremos 4 libras de manzanas por cada 10 dólares u 8 libras de manzanas por cada 20 dólares, las manzanas cuestan 2.50 dólares por cada libra.

También podemos hallar el número de libras de manzanas que podemos comprar por cada dólar dividiendo el número de libras entre el precio.

manzanas (libras)	precio (dólares)	libras por cada dólar
$4$	$10$	$4 \div 10 = 0.4$
$8$	$20$	$8 \div 20 = 0.4$
$20$	$50$	$20 \div 50 = 0.4$

¡El número de libras que podemos comprar por un dólar también es el mismo! Así compremos 4 libras de manzanas por 10 dólares u 8 libras de manzanas por 20 dólares, por cada dólar obtenemos 0.4 libras de manzanas.

Esto es cierto en todos los contextos: cuando dos razones son equivalentes, las dos tasas unitarias siempre serán iguales.

cantidad $x$	cantidad $y$	tasa unitaria 1	tasa unitaria 2
$a$	$b$	$\frac{a}{b}$	$\frac{b}{a}$
$s \cdot a$	$s \cdot b$	$\frac{s \cdot a}{s \cdot b} = \frac{a}{b}$	$\frac{s \cdot b}{s \cdot a} = \frac{b}{a}$