Lección 5Movidas con coordenadas

Objetivo de aprendizaje

Transformemos algunas figuras y veamos qué les pasa a las coordenadas de los puntos.

Meta de aprendizaje

Puedo aplicarles transformaciones a puntos sobre una cuadrícula si conozco sus coordenadas.

Términos de la lección

en el sentido contrario a las manecillas del reloj
en el sentido de las manecillas del reloj
imagen
plano de coordenadas
reflexión
rotación
secuencia de transformaciones
traslación
vértice

Calentamiento: Traslademos coordenadas

Selecciona todas las traslaciones que llevan el triángulo $T$ al triángulo $U$ . Puede que haya más de una respuesta correcta.

Trasladar $(- 3, 0)$ a $(1, 2)$ .
Trasladar $(2, 1)$ a $(- 2, - 1)$ .
Trasladar $(- 4, - 3)$ a $(0, - 1)$ .
Trasladar $(1, 2)$ a $(2, 1)$ .

Actividad 1: Reflexiones de puntos en el plano de coordenadas

Problema 1

Hay cinco puntos ubicados en el plano de coordenadas.

Usando la herramienta “Lápiz” o “Texto”, etiqueta cada uno con sus coordenadas.
Usando el eje $x$ como recta de reflexión, ubica la imagen de cada punto.
Etiqueta la imagen de cada punto usando una letra. Por ejemplo, la imagen del punto $A$ se debería llamar $A^{'}$ .
Etiqueta cada uno con sus coordenadas.

versión impresa

Esta es una lista de puntos. $\begin{aligned} A & = (0.5, 4) & B & = (- 4, 5) & C & = (7, - 2) & D & = (6, 0) & E & = (0, - 3) \end{aligned}$ En el plano de coordenadas:

Ubica cada punto y etiquétalo con sus coordenadas.
Usando el eje $x$ como recta de reflexión, ubica la imagen de cada punto.
Etiqueta la imagen de cada punto con sus coordenadas.
Incluye una etiqueta que contenga una letra. Por ejemplo, la imagen del punto $A$ se debería llamar $A^{'}$ .

Problema 2

Si el punto $(13, 10)$ se reflejara usando el eje $x$ como recta de reflexión, ¿cuáles serían las coordenadas de la imagen?, ¿y para $(13, - 20)$ ? ¿ $(13, 570)$ ? Explica cómo lo sabes.

Problema 3

Sin graficar, predice las coordenadas de la imagen del punto $R$ si el punto $R$ se reflejara usando el eje $y$ como recta de reflexión.
Verifica tu respuesta encontrando la imagen de $R$ sobre la gráfica.
Etiqueta la imagen del punto $R$ con $R^{'}$ .
¿Cuáles son las coordenadas de $R^{'}$ ?

Problema 4

Supongamos que reflejas un punto usando el eje $y$ como recta de reflexión. ¿Cómo describirías su imagen?

Actividad 2: Transformaciones de un segmento

El applet tiene instrucciones para las primeras 3 preguntas. Mueve el control deslizante etiquetado con “pregunta” cuando estés listo para contestar la siguiente. Haz una pausa antes de usar el applet para mostrar la transformación descrita en cada pregunta con el fin de predecir dónde quedarán las nuevas coordenadas.

Aplica cada una de las siguientes transformaciones al segmento $A B$ . Usa la herramienta “Lápiz” para anotar las coordenadas.

Rota el segmento $A B$ 90 grados en el sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del centro $B$ moviendo el control deslizante marcado con 0 grados. La imagen de $A$ se llama $C$ . ¿Cuáles son las coordenadas de $C$ ?
Rota el segmento $A B$ 90 grados en el sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del centro $A$ moviendo el control deslizante marcado con 0 grados. La imagen de $B$ se llama $D$ . ¿Cuáles son las coordenadas de $D$ ?
Rota el segmento $A B$ 90 grados en el sentido de las manecillas del reloj alrededor de $(0, 0)$ moviendo el control deslizante marcado con 0 grados. La imagen de $A$ se llama $E$ y la imagen de $B$ se llama $F$ . ¿Cuáles son las coordenadas de $E$ y de $F$ ?
Compara las dos rotaciones de 90 grados en el sentido contrario a las manecillas del reloj del segmento $A B$ . ¿ En qué se parecen las imágenes de estas rotaciones? ¿En qué son diferentes?

versión impresa

Aplica cada una de las siguientes transformaciones al segmento $A B$ .

Rota el segmento $A B$ 90 grados en el sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del centro $B$ . Etiqueta la imagen de $A$ con $C$ . ¿Cuáles son las coordenadas de $C$ ?
Rota el segmento $A B$ 90 grados en el sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor del centro $A$ . Etiqueta la imagen de $B$ con $D$ . ¿Cuáles son las coordenadas de $D$ ?
Rota el segmento $A B$ 90 grados en el sentido de las manecillas del reloj alrededor de $(0, 0)$ . Etiqueta la imagen de $A$ con $E$ y la imagen de $B$ con $F$ . ¿Cuáles son las coordenadas de $E$ y de $F$ ?
Compara las dos rotaciones de 90 grados en el sentido contrario a las manecillas del reloj del segmento $A B$ . ¿ En qué se parecen las imágenes de estas rotaciones? ¿En qué son diferentes?

¿Estás listo para más?

Supongamos que $E F$ y $G H$ son segmentos de recta de la misma longitud. Describe una secuencia de transformaciones que lleve $E F$ a $G H$ .

Resumen de la lección

Podemos usar coordenadas para describir puntos y encontrar patrones en las coordenadas de los puntos transformados.

Podemos describir una traslación expresándola como una secuencia de traslaciones verticales y horizontales. Por ejemplo, el segmento $A B$ se traslada 3 hacia la derecha y 2 hacia abajo.

Al reflejar un punto con respecto a un eje se cambia el signo de una coordenada. Por ejemplo, al reflejar el punto $A$ cuyas coordenadas son $(2, - 1)$ con respecto al eje $x$ se cambia el signo de la coordenada $y$ , de forma que su imagen es el punto $A^{'}$ cuyas coordenadas son $(2, 1)$ . Al reflejar el punto $A$ con respecto al eje $y$ se cambia el signo de la coordenada $x$ , de forma que su imagen es el punto $A^{″}$ cuyas coordenadas son $(- 2, - 1)$ .

Las reflexiones con respecto a otras rectas son más complicadas de describir.

Aún no tenemos las herramientas para describir las rotaciones en términos de coordenadas en general. Este es un ejemplo de una rotación de $90^{\circ}$ con centro en $(0, 0)$ en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

El punto $A$ tiene coordenadas $(0, 0)$ . El segmento $A B$ se rotó $90^{\circ}$ en el sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor de $A$ . El punto $B$ de coordenadas $(2, 3)$ se rota hasta el punto $B^{'}$ cuyas coordenadas son $(- 3, 2)$ .