Lección 9Movidas en paralelo

Objetivo de aprendizaje

Transformemos algunas rectas.

Metas de aprendizaje

Puedo describir los efectos que tiene una transformación rígida sobre un par de rectas paralelas.
Si tengo un par de ángulos opuestos y conozco la medida de ángulo de uno de ellos, puedo encontrar la medida de ángulo del otro.

Términos de la lección

ángulos opuestos
correspondiente
transformación rígida

Calentamiento: Movidas de rectas

Para cada diagrama, describe la traslación, rotación o reflexión que lleva la recta $ℓ$ a la recta $ℓ^{'}$ . Después, ubica y etiqueta $A^{'}$ y $B^{'}$ , las imágenes de $A$ y $B$ .

Actividad 1: Rectas paralelas

Usen una hoja de papel de calcar para trazar las rectas $a$ y $b$ y el punto $K$ . Luego, usen papel de calcar para dibujar las imágenes de las rectas al realizar estas tres transformaciones distintas de la lista.

Mientras realizan cada transformación, piensen en la pregunta:

¿Cuál es la imagen de dos rectas paralelas al realizar una transformación rígida?

Problema 1

Trasladen las rectas $a$ y $b$ 3 unidades hacia arriba y 2 unidades hacia la derecha.
¿Qué observan acerca de los cambios que les ocurren a las rectas $a$ y $b$ luego de la traslación?
¿Qué tienen en común la original y la imagen?

Problema 2

Roten las rectas $a$ y $b$ en sentido contrario a las manecillas del reloj 180 grados usando $K$ como centro de rotación.
¿Qué observan acerca de los cambios que les ocurren a las rectas $a$ y $b$ luego de la rotación?
¿Qué tienen en común la original y la imagen?

Problema 3

Reflejen las rectas $a$ y $b$ con respecto a la recta $h$ .
¿Qué observan acerca de los cambios que les ocurren a las rectas $a$ y $b$ luego de la reflexión?
¿Qué tienen en común la original y la imagen?

¿Estás listo para más?

Cuando se rotan dos rectas paralelas, algunas veces las dos rectas originales intersecan sus imágenes y forman un cuadrilátero. ¿Qué es lo más específico que puedes decir de este cuadrilátero?, ¿puede ser un cuadrado?, ¿un rombo?, ¿un rectángulo que no es un cuadrado? Explica tu razonamiento.

Actividad 2: Hagamos rotaciones de 180

Problema 1

El diagrama muestra una recta con puntos etiquetados $A$ , $C$ , $D$ y $B$ .

En el diagrama, dibuja la imagen de la recta y los puntos $A$ , $C$ y $B$ luego de que la recta se haya rotado 180 grados alrededor del punto $D$ .
Etiqueta las imágenes de los puntos con $A^{'}$ , $B^{'}$ y $C^{'}$ .
¿Cuál es el orden de los siete puntos? Explica o muestra tu razonamiento.

Problema 2

El diagrama muestra una recta con puntos $A$ y $C$ sobre la recta y un segmento $A D$ , en donde $D$ no está en la recta.

Rota la figura 180 grados alrededor del punto $C$ . Etiqueta la imagen de $A$ con $A^{'}$ y la imagen de $D$ con $D^{'}$ .
¿Qué sabes sobre la relación entre el ángulo $C A D$ y el ángulo $C A^{'} D^{'}$ ? Explica o muestra tu razonamiento.

Problema 3

El diagrama muestra dos rectas $ℓ$ y $m$ que se intersecan en un punto $O$ , con el punto $A$ sobre $ℓ$ y el punto $D$ sobre $m$ .

Rota la figura 180 grados alrededor de $O$ . Etiqueta la imagen de $A$ con $A^{'}$ y la imagen de $D$ con $D^{'}$ .
¿Qué sabes acerca de la relación entre los ángulos en la figura? Explica o muestra tu razonamiento.

Resumen de la lección

Las transformaciones rígidas tienen las siguientes propiedades:

Una transformación rígida de una recta es una recta.
Una transformación rígida de dos rectas paralelas da como resultado dos rectas paralelas que están a la misma distancia que las originales.
Algunas veces, una transformación rígida lleva una recta a sí misma. Por ejemplo:
- Una traslación paralela a la recta. La flecha muestra una traslación de la recta $m$ que llevará $m$ a sí misma.
- Una rotación de $180^{\circ}$ alrededor del punto $F$ llevará $m$ a sí misma.
- Una reflexión con respecto a cualquier recta perpendicular a la recta. Una reflexión de la recta $m$ con respecto a la recta punteada llevará $m$ a sí misma.

Estos hechos nos permiten sacar una conclusión importante. Si dos rectas se intersecan en un punto, que llamaremos $O$ , entonces una rotación de $180^{\circ}$ de las rectas con centro $O$ muestra que los ángulos opuestos son congruentes. Este es un ejemplo:

Rotar ambas rectas $180^{\circ}$ alrededor de $O$ lleva el ángulo $A O C$ al ángulo $A^{'} O C^{'}$ , lo que demuestra que tienen la misma medida. La rotación también lleva el ángulo $A O C^{'}$ al ángulo $A^{'} O C$ .