Lección 14Posición, rapidez y dirección

Objetivo de aprendizaje

Usemos números con signo para representar movimiento.

Metas de aprendizaje

Puedo explicar qué significa que el tiempo se represente con un número negativo en una situación sobre rapidez y dirección.
Puedo multiplicar dos números negativos.
Puedo usar números racionales para representar rapidez y dirección.

Calentamiento: Distancia, tasa, tiempo

Problema 1

Un avión se mueve a una rapidez constante de 120 millas por hora durante 3 horas. ¿Cuánto avanza?

Problema 2

Un tren se mueve a una rapidez constante y recorre 6 millas en 4 minutos. ¿Cuál es su rapidez en millas por minuto?

Problema 3

Un automóvil se mueve a una rapidez constante de 50 millas por hora. ¿Cuánto tarda el automóvil en recorrer 200 millas?

Actividad 1: Velocidad

Una ingeniera de seguridad vial estaba estudiando patrones de desplazamiento en una autopista. Ella configuró una cámara y grabó la rapidez y dirección de los automóviles y camiones que pasaban frente a la cámara. Las posiciones al este de la cámara son positivas y al oeste son negativas.

Los vehículos que viajan hacia el este tienen una velocidad positiva y los vehículos que viajan hacia el oeste tienen una velocidad negativa.

Completa la tabla con la posición de cada vehículo, suponiendo que el vehículo viaja a una rapidez constante durante el período de tiempo indicado. Luego escribe una ecuación.
velocidad
(metros por
segundo)
tiempo después
de pasar frente
a la cámara
(segundos)
posición
final
(metros)
ecuación que
describe la
posición
$+ 25$
$+ 10$
$+ 250$
$25 \cdot 10 = 250$
$- 20$
$+ 30$
$+ 32$
$+ 40$
$- 35$
$+ 20$
$+ 28$
$0$
Si un automóvil está viajando al este cuando pasa frente a la cámara, ¿su posición será positiva o negativa 60 segundos después de que pase la cámara? Si multiplicamos dos números positivos, ¿el resultado es positivo o negativo?
Si un automóvil está viajando al oeste cuando pasa frente a la cámara, ¿su posición será positiva o negativa 60 segundos después de que pase la cámara? Si multiplicamos un número positivo y uno negativo, ¿el resultado es positivo o negativo?

velocidad (metros por segundo)	tiempo después de pasar frente a la cámara (segundos)	posición final (metros)	ecuación que describe la posición
$+ 25$	$+ 10$	$+ 250$	$25 \cdot 10 = 250$
$- 20$	$+ 30$
$+ 32$	$+ 40$
$- 35$	$+ 20$
$+ 28$	$0$

¿Estás listo para más?

En muchos contextos podemos interpretar tasas negativas como “tasas en la dirección opuesta”. Por ejemplo, un automóvil que viaja a -35 millas por hora está desplazándose en la dirección opuesta de un automóvil que viaja a 40 millas por hora.

¿Qué podría significar si decimos que el agua está fluyendo a una tasa de -5 galones por minuto?
Inventa otra situación usando una tasa negativa y explica lo que esto podría significar.

Actividad 2:

Indica dónde estaba la joven:

5 segundos después de que se tomara la foto. Marca su ubicación aproximada en la foto.
5 segundos antes de que se tomara la foto. Marca su ubicación aproximada en la foto.

Actividad 3: Devolverse en el tiempo

Una ingeniera de seguridad vial estaba estudiando patrones de desplazamiento en una autopista. Configuró una cámara y grabó la rapidez y dirección de los automóviles y camiones que pasaban frente a la cámara. Las posiciones al este de la cámara son positivas y al oeste son negativas.

Problema 1

Estas son algunas posiciones y tiempos para un automóvil:

posición (pies)	$- 180$	$- 120$	$- 60$	$0$	$60$	$120$
tiempo (segundos)	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$

¿En cuál dirección está viajando este automóvil?
¿Cuál es su velocidad?

Problema 2

¿Qué significa cuando el tiempo es cero?
¿Qué puede significar tener un tiempo negativo?

Problema 3

Estas son las posiciones y tiempos para otro automóvil cuya velocidad es -50 pies por segundo:

Completa la tabla con el resto de las posiciones.
posición (pies)
$0$
$- 50$
$- 100$
tiempo (segundos)
$- 3$
$- 2$
$- 1$
$0$
$1$
$2$
¿En qué dirección está viajando este automóvil? Explica cómo lo sabes.

posición (pies)				$0$	$- 50$	$- 100$
tiempo (segundos)	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$

Problema 4

Completa la tabla para varios automóviles que pasan por la cámara.

	velocidad (metros por segundo)	tiempo después de pasar por la cámara (segundos)	posición final (metros)	ecuación
automóvil C	$+ 25$	$+ 10$	$+ 250$	$25 \cdot 10 = 250$
automóvil D	$- 20$	$+ 30$
automóvil E	$+ 32$	$- 40$
automóvil F	$- 35$	$- 20$
automóvil G	$- 15$	$- 8$

Problema 5

Si un automóvil está viajando al este, ¿su posición será positiva o negativa 60 segundos antes de que pase por la cámara?
Si multiplicamos dos números negativos, ¿el resultado es positivo o negativo?

Problema 6

Si un automóvil está viajando al oeste, ¿su posición será positiva o negativa 60 segundos antes de que pase por la cámara?
Si multiplicamos dos números negativos, ¿el resultado es positivo o negativo?

Resumen de la lección

Podemos usar números con signo para representar la posición de un objeto sobre una recta. Seleccionamos un punto como el punto de referencia y lo llamamos cero. Las posiciones a la derecha del cero son positivas. Las posiciones a la izquierda del cero son negativas.

Cuando se combina rapidez con dirección, indicada por el signo del número, esta se llama velocidad. Por ejemplo, si nos estamos moviendo a 5 metros por segundo hacia la derecha, entonces la velocidad es +5 metros por segundo. Si nos estamos moviendo a 5 metros por segundo hacia la izquierda, entonces la velocidad es -5 metros por segundo.

Si comenzamos en cero y nos movemos 5 metros por segundo durante 10 segundos, estaremos $5 \cdot 10 = 50$ metros a la derecha del cero. En otras palabras, $5 \cdot 10 = 50$ .

Si comenzamos en cero y nos movemos -5 metros por segundo durante 10 segundos, estaremos $- 5 \cdot 10 = 50$ metros a la izquierda del cero. En otras palabras,

$- 5 \cdot 10 = - 50$ También podemos usar números con signo para representar tiempos con respecto a un punto escogido en el tiempo. Podemos pensar en esto como cuando activamos un cronómetro: los tiempos positivos están después del tiempo inicial (cuando activamos el cronómetro) y los tiempos negativos son tiempos antes de activar el cronómetro.

Si un automóvil está en una posición 0 y se mueve en una dirección positiva, entonces en los tiempos después de eso (tiempos positivos), el automóvil tendrá una posición positiva. Un positivo multiplicado por un positivo es positivo.

Si un automóvil está en posición 0 y se mueve en una dirección negativa, entonces en los tiempos después de eso (tiempos positivos), el automóvil tendrá una posición negativa. Un negativo multiplicado por un positivo es negativo.

Si un automóvil está en una posición 0 y se mueve en una dirección positiva, entonces en los tiempos antes de eso (tiempos negativos), el automóvil debe haber tenido una posición negativa. Un positivo multiplicado por un negativo es negativo.

Si un automóvil está en una posición 0 y se mueve en una dirección negativa, entonces en los tiempos antes de eso (tiempos negativos), el automóvil debe haber tenido una posición positiva. Un negativo multiplicado por un negativo es positivo.