Lección 19Resolvamos ecuaciones con números racionales

Objetivo de aprendizaje

Resolvamos ecuaciones que incluyen valores negativos.

Meta de aprendizaje

Puedo resolver ecuaciones que incluyen números racionales y tienen soluciones racionales.

Términos de la lección

variable

Calentamiento: Conversación numérica: opuestos y recíprocos

Todas las variables de $a$ hasta $h$ representan números diferentes. Mentalmente, encuentra números que hagan que cada ecuación sea verdadera.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3} = a$
$7 \cdot b = 1$
$c \cdot d = 1$
$- 6 + 6 = e$
$11 + f = 0$
$g + h = 0$

Actividad 1: Emparejemos soluciones

Empareja cada ecuación con un valor que haga que sea verdadera. Arrastra la respuesta hasta la ecuación correspondiente. Prepárate para explicar tu razonamiento.

versión impresa

Empareja cada ecuación con su solución. Prepárate para explicar tu razonamiento.

$\frac{1}{2} x = - 5$
$- 2 x = - 9$
$- \frac{1}{2} x = \frac{1}{4}$
$- 2 x = 7$
$x + (- 2) = - 6.5$
$- 2 + x = \frac{1}{2}$

$x = - 4.5$
$x = - \frac{1}{2}$
$x = - 10$
$x = 4.5$
$x = 2 \frac{1}{2}$
$x = - 3.5$

Actividad 2: Un paseo a las montañas

El club de senderismo está en un paseo para subir una montaña.

Problema 1

Los integrantes del club aumentaron su altitud 290 pies durante su caminata esta mañana. Ahora están a una altitud de 450 pies.

Explica cómo encontrar cuál era su altitud antes de empezar la caminata.
Han dice que la ecuación $e + 290 = 450$ describe la situación. ¿Qué representa la variable $e$ ?
Han dice que puede plantear su ecuación como $e = 450 + (- 290)$ para hallar el valor de $e$ . Compara la estrategia de Han con tu estrategia para hallar la altitud inicial.

Problema 2

La temperatura disminuyó 4 grados en la última hora. Ahora es 21 grados. Escribe y resuelve una ecuación para hallar la temperatura de hace 1 hora.

Problema 3

Hay 3 veces tantos estudiantes participando en el paseo de senderismo este año como los que hubo el año pasado. Hay 42 estudiantes en el paseo este año.

Explica cómo hallar el número de estudiantes que vino al paseo de senderismo el año pasado.
Mai dice que la ecuación $3 s = 42$ describe la situación. ¿Qué representa la variable $s$ ?
Mai dice que puede plantear su ecuación como $s = \frac{1}{3} \cdot 42$ para hallar el valor de $s$ . Compara la estrategia de Mai con tu estrategia para hallar el número de estudiantes en el paseo del año pasado.

Problema 4

El costo del paseo de senderismo este año es $\frac{2}{3}$ del costo del paseo del año pasado. El costo del paseo de este año es $32. Escribe y resuelve una ecuación para hallar el costo del paseo del año pasado.

¿Estás listo para más?

A continuación se muestra una recta numérica. Los números 0 y 1 están marcados en la recta, al igual que otros números racionales $a$ y $b$ .

Determina cuáles de los siguientes números son positivos y cuáles son negativos.

$a - 1$
$a - 2$
$- b$
$a + b$
$a - b$
$a b + 1$

Actividad 3: Clasificación de tarjetas: emparejemos inversos

Su profesor les dará un juego de tarjetas que tienen números.

Emparejen los números con sus inversos aditivos.
Después, emparejen los números con sus inversos multiplicativos.
¿Qué observan acerca de los números y sus inversos?

Resumen de la lección

Para resolver la ecuación $x + 8 = - 5$ , podemos sumar a cada lado el opuesto de 8 (es decir, -8):

$\begin{aligned} x + 8 & = - 5 \\ (x + 8) + - 8 & = (- 5) + - 8 \\ x & = - 13 \end{aligned}$

Como sumar el opuesto de un número es igual que restar ese número, también podemos pensar en este proceso como restar 8 en cada lado.

Podemos usar el mismo método para esta ecuación:

$\begin{aligned} - 12 & = t + - \frac{2}{9} \\ (- 12) + \frac{2}{9} & = (t + - \frac{2}{9}) + \frac{2}{9} \\ - 11 \frac{7}{9} & = t \end{aligned}$

Para resolver la ecuación $8 x = - 5$ , podemos multiplicar cada lado por el recíproco de 8, (es decir, $\frac{1}{8}$ ):

$\begin{aligned} 8 x & = - 5 \\ \frac{1}{8} (8 x) & = \frac{1}{8} (- 5) \\ x & = - \frac{5}{8} \end{aligned}$

Como multiplicar por el recíproco de un número es igual que dividir por ese número, también podemos pensar en este proceso como dividir cada lado por 8. Podemos usar el mismo método para esta ecuación:

$\begin{aligned} - 12 & = - \frac{2}{9} t \\ - \frac{9}{2} (- 12) & = - \frac{9}{2} (- \frac{2}{9} t) \\ 54 & = t \end{aligned}$