Lección 15Resolvamos desigualdades de forma eficiente

Objetivo de aprendizaje

Resolvamos desigualdades más complicadas.

Metas de aprendizaje

Puedo graficar las soluciones de una desigualdad en una recta numérica.
Puedo resolver desigualdades solucionando una ecuación relacionada y luego comprobando qué valores son soluciones de la desigualdad inicial.

Términos de la lección

solución de una desigualdad

Calentamiento: Muchos negativos

Esta es una desigualdad: $- x \geq - 4$ .

Predice cómo crees que se verán las soluciones en la recta numérica.
Selecciona todos los valores que son soluciones de $- x \geq - 4$ :
1. 3
2. -3
3. 4
4. -4
5. 4.001
6. -4.001
Grafica las soluciones de la desigualdad en la recta numérica:

Actividad 1: Desigualdades con tablas

Problema 1

Investiguemos la desigualdad $x - 3 > - 2$ .

Completa la tabla.
$x$
$- 4$
$- 3$
$- 2$
$- 1$
$0$
$1$
$2$
$3$
$4$
$x - 3$
$- 7$
$- 5$
$- 1$
$1$
¿Para cuáles valores de $x$ es verdadero que $x - 3 = - 2$ ?
¿Para cuáles valores de $x$ es verdadero que $x - 3 > - 2$ ?
Grafica las soluciones de $x - 3 > - 2$ en la recta numérica:

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$x - 3$	$- 7$		$- 5$				$- 1$		$1$

Problema 2

Esta es una desigualdad: $2 x < 6$ .

Predice qué valores de $x$ harán que la desigualdad $2 x < 6$ sea verdadera.
Completa la tabla. ¿Coincide con tu predicción?
$x$
$- 4$
$- 3$
$- 2$
$- 1$
$0$
$1$
$2$
$3$
$4$
$2 x$
Grafica las soluciones de $2 x < 6$ en la recta numérica:

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$2 x$

Problema 3

Esta es una desigualdad: $- 2 x < 6$ .

Predice qué valores de $x$ harán que la desigualdad $- 2 x < 6$ sea verdadera.
Completa la tabla. ¿Coincide con tu predicción?
$x$
$- 4$
$- 3$
$- 2$
$- 1$
$0$
$1$
$2$
$3$
$4$
$- 2 x$
$8$
$6$
$4$
$2$
$0$
$- 2$
$- 4$
$- 6$
$- 8$
Grafica las soluciones de $- 2 x < 6$ en la recta numérica:
¿En qué se diferencian las soluciones de $2 x < 6$ de las soluciones de $- 2 x < 6$ ?

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$- 2 x$	$8$	$6$	$4$	$2$	$0$	$- 2$	$- 4$	$- 6$	$- 8$

Actividad 2: ¿De qué lado están las soluciones?

Problema 1

Investiguemos $- 4 x + 5 \geq 25$ .

Resuelve $- 4 x + 5 = 25$ .
¿ $- 4 x + 5 \geq 25$ es verdadero cuando $x$ es 0? ¿Qué pasa cuando $x$ es 7? ¿Qué pasa cuándo $x$ es -7?
Grafica las soluciones de $- 4 x + 5 \geq 25$ en la recta numérica.

Problema 2

Investiguemos $\frac{4}{3} x + 3 < \frac{23}{3}$ .

Resuelve $\frac{4}{3} x + 3 = \frac{23}{3}$ .
¿Si $x$ es 0, es verdadero $\frac{4}{3} x + 3 < \frac{23}{3}$ ?
Grafica las soluciones de $\frac{4}{3} x + 3 < \frac{23}{3}$ en la recta numérica.

Problema 3

Resuelve la desigualdad $3 (x + 4) > 17.4$ y representa gráficamente las soluciones en la recta numérica.

Problema 4

Resuelve la desigualdad $- 3 (x - \frac{4}{3}) \leq 6$ y representa gráficamente las soluciones en la recta numérica.

¿Estás listo para más?

Escribe al menos tres desigualdades diferentes cuya solución sea $x > - 10$ . Encuentra una en la que $x$ esté en el lado izquierdo y en la que se use $<$ .

Resumen de la lección

Esta es una desigualdad: $3 (10 - 2 x) < 18$ . La solución de esta desigualdad son todos los valores que al reemplazar a $x$ hacen que la desigualdad sea verdadera.

Para resolverla, primero podemos solucionar la ecuación relacionada $3 (10 - 2 x) = 18$ y obtenemos $x = 2$ . Eso significa que 2 es el extremo entre los valores de $x$ que hacen que la desigualdad sea verdadera y los valores que hacen que la desigualdad sea falsa.

Para resolver la desigualdad, podemos verificar números mayores que 2 y menores que 2 y ver cuáles de ellos hacen que la desigualdad sea verdadera.

Comprobemos un número que sea mayor que 2: $x = 5$ . Al reemplazar $x$ por 5 en la desigualdad, obtenemos $3 (10 - 2 \cdot 5) < 18$ o simplemente $0 < 18$ . Esto es verdadero, entonces $x = 5$ es una solución. Esto significa que todos los valores mayores que 2 hacen que la desigualdad sea verdadera. Podemos escribir las soluciones como $x > 2$ y también representar las soluciones en una recta numérica:

Observa que 2 en sí mismo no es una solución porque es el valor de $x$ que hace que $3 (10 - 2 x)$ sea igual a 18 y, por lo tanto, no hace que la desigualdad $3 (10 - 2 x) < 18$ sea verdadera.

Para confirmar que encontramos la solución correcta, también podemos probar un valor que sea menor que 2. Si probamos $x = 0$ , obtenemos $3 (10 - 2 \cdot 0) < 18$ o simplemente $30 < 18$ . Esto es falso, entonces $x = 0$ y todos los valores de $x$ que son menores que 2, no son soluciones.