Lección 18La resta en expresiones equivalentes

Objetivo de aprendizaje

Encontremos maneras de trabajar con la resta en las expresiones.

Metas de aprendizaje

Puedo organizar mi trabajo cuando uso la propiedad distributiva.
Puedo reescribir la resta como la suma del opuesto y luego reorganizar los términos en una expresión.

Términos de la lección

término

Calentamiento: Conversación numérica: inversos aditivos

Encuentra mentalmente el resultado de cada suma o resta.

$- 30 + (- 10)$
$- 10 + (- 30)$
$- 30 - 10$
$10 - (- 30)$

Actividad 1: Una observación útil

Lin y Kiran están intentando calcular $7 \frac{3}{4} + 3 \frac{5}{6} - 1 \frac{3}{4}$ . Esta es su conversación:

Lin: “Planeo sumar primero $7 \frac{3}{4}$ y $3 \frac{5}{6}$ , así que tendré que empezar por encontrar fracciones equivalentes con un denominador común”.

Kiran: “Sería mucho más fácil si pudiéramos empezar trabajando con $1 \frac{3}{4}$ y $7 \frac{3}{4}$ . ¿Podemos reescribir la expresión como $7 \frac{3}{4} + 1 \frac{3}{4} - 3 \frac{5}{6}$ ?”.

Lin: “No puedes intercambiar el orden de los números en un problema de resta como lo haces en la suma; $2 - 3$ no es igual a $3 - 2$ ”.

Kiran: “Es cierto, pero ¿recuerdas lo que aprendimos sobre reescribir expresiones de resta usando la suma? $2 - 3$ es igual a $2 + (- 3)$ ”.

Escribe una expresión que sea equivalente a $7 \frac{3}{4} + 3 \frac{5}{6} - 1 \frac{3}{4}$ y que use la suma en vez de la resta.
Si escribes los términos de tu nueva expresión en un orden diferente, ¿seguirá siendo equivalente? Explica tu razonamiento.

Actividad 2: Organicemos el trabajo

Problema 1

Escribe dos expresiones para el área del rectángulo grande.

Problema 2

Usa la propiedad distributiva para escribir una expresión que sea equivalente a $\frac{1}{2} (8 y + - x + - 12)$ . Las cajas pueden ayudarte a organizar tu trabajo.

Problema 3

Usa la propiedad distributiva para escribir una expresión que sea equivalente a $\frac{1}{2} (8 y - x - 12)$ .

¿Estás listo para más?

Este es un calendario de abril de 2017.

Escojamos una fecha, por ejemplo, el 10. Mira los números que están arriba, abajo y a cada lado del 10: 3, 17, 9, 11.

Promedia estos cuatro números. ¿Qué observas?
Elige una fecha diferente que se encuentre en una ubicación que tenga una fecha arriba, abajo y a cada lado. Promedia estos cuatro números. ¿Qué observas?
Explica por qué la misma situación se dará con cualquier fecha que esté en una ubicación que tenga una fecha arriba, abajo y a cada lado.

Resumen de la lección

A veces puede ser complicado trabajar con restas o con números con signo. Podemos aplicar lo que sabemos sobre las relaciones entre la suma y la resta (que restar un número da el mismo resultado que sumar su opuesto) a nuestro trabajo con expresiones. Luego, podemos usar las propiedades de la suma que nos permiten sumar y agrupar en cualquier orden. Esto puede hacer que los cálculos sean más sencillos. Por ejemplo:

$\frac{5}{8} - \frac{2}{3} - \frac{1}{8}$

$\frac{5}{8} + - \frac{2}{3} + - \frac{1}{8}$

$\frac{5}{8} + - \frac{1}{8} + - \frac{2}{3}$

$\frac{4}{8} + - \frac{2}{3}$

También podemos organizar el trabajo de multiplicar números con signo en las expresiones. El producto $\frac{3}{2} (6 y - 2 x - 8)$ se puede encontrar al dibujar un rectángulo que tiene al primer factor $\frac{3}{2}$ en un lado, y los tres términos del paréntesis en el otro lado:

Se multiplica $\frac{3}{2}$ por cada término que conforma el lado horizontal y se hacen las multiplicaciones:

Se vuelven a armar las partes para obtener la versión ampliada de la expresión original: $\frac{3}{2} (6 y - 2 x - 8) = 9 y - 3 x - 12$